Методы решения алгебраических уравнений

 Большой энциклопедический словарь (Часть 2, ЛЕОНТЬЕВ - ЯЯТИ)

Массивом называется также искусственный камень правильной формы, используемый в гидротехническом строительстве. МАССИНЬОН (Massignon) Луи (1883-1962) - французский востоковед-исламовед, иностранный член АН СССР (1925; иностранный член Российской АН с 1924). Сочинения по проблемам религии, философии, политической и культурной истории мусульманского мира. МАССНЕ (Massenet) Жюль (1842-1912) - французский композитор, мастер лирической оперы (развивал лирико-романтическое направление). Оперы "Манон" (1884), "Вертер" (1886), "Таис" (1894), "Сафо" (1897). Профессор Парижской консерватории (1878-96). МАССО (Massau) Жюниус (1852-1909) - бельгийский математик и механик. Разрабатывал графические методы в математике. Предложил метод графического интегрирования. Применил векторное исчисление (векторный анализ) к решению задач механики. Разработал графический метод решения дифференциальных уравнений с частными производными. МАССОВАЯ КОММУНИКАЦИЯ - систематическое распространение информации (через печать, радио, телевидение, кино, звукозапись, видеозапись) с целью утверждения духовных ценностей данного общества и оказания идеологического, политического, экономического или организационного воздействия на оценки, мнения и поведение людей

 Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:С2=А2 В2, /1/где: С - гипотенуза; А и В - катеты. Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми. Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах. Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:А2 = С2 -В2 /2/Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных. Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:А2= (C-B) (C B) /3/Используя метод замены переменных, обозначим:C-B=M /4/Из уравнения /4/ имеем:C=B M /5/Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:А2 =M (2B M) = 2BM M2 /6/Из уравнения /6/ имеем:А2 - M2=2BM /7/Отсюда: B = /8/Из уравнений /5/ и /8/ имеем:C= /9/Таким образом:B = /10/ C /11/Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2.

 Онтология математического дискурса

Другой способ понимания существования в отношении предметов математики также связан скорее с предположением о существовании (по крайней мере, если сопоставлять его с конструктивным предъявлением индивида). Введение целых классов предметов осуществляется с помощью мыслительного хода, подобного тому, который был предпринят при введении отрицательных чисел для учета расходов и долгов в разных финансовых операциях или введении иррациональных (а затем и комплексных) чисел при решении алгебраических уравнений. Всякий раз в рассуждение вводится некий квази-объект, который не указывается конструктивно. Про него лишь говорится, что он может участвовать в различных манипуляциях с числами наравне с числами "настоящими" (например, рациональными). Для него придумывается специальный значок, который подставляется в формулы. Причем результатом применения к нему этих формул оказывается вполне определенное, вычисляемое число. Сам же этот квази-объект по существу оказывается отождествлен с тем значком, который подставляется вместо него в формулу

 Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом: А2 = С2 –В2 /5/ Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных. Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: А2=(C-B) А В /30/ Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных показателях степени.

 Сэнсэй IV. Исконный Шамбалы

А это, в свою очередь, тормозило попытки усовершенствовать науку. А когда уже явно стала проявляться несостыковка, «Вольные каменщики» и тут не растерялись. Выдвинули «Ньютона II» под именем Альберт Эйнштейн. PАльберт Эйнштейн был выдвиженцем от «Вольных каменщиков»?P искренне удивился Николай Андреевич. PКонечно. PДа, чего только в мире не бывает,P усмехнулся Николай Андреевич. На некоторое время в разговоре водрузилась пауза. PНет, кто бы мог подумать, что Омар Хайям был настолько великим ученным!P сказал Виктор, видимо, обдумывая услышанное. PЕщё каким учёным!P подчеркнул Сэнсэй.P Омар Хайям смог внести огромный вклад в развитие людской науки, сделав ряд важнейших открытий в области математики, астрономии, физики Он, впервые в истории развития математических дисциплин этой цивилизации, дал полную классификацию всех видов уравнения, в том числе линейных, квадратных, кубических. Разработал систематическую теорию решения кубических уравнений, обосновал теорию решения алгебраических уравнений. Кроме того, разработал математическую теорию музыки

 Прямой метод вращения векового определителя

Популярным методом этого типа является метод Данилевского. Он давал довольно большую погрешность, но в тоже время имел очень большую скорость получения результата. Мы предпримем попытку анализа возможности использования этого метода в современных условиях. Попытаемся обозначить возможные границы применения этого метода, и так же найти области науки, где пользоваться методом Данилевского было бы очень удобно. Постановка задачи Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений , для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений , (1) и отыскания этих нетривиальных решений. Здесь -квадратная матрица порядка m , - неизвестный вектор - столбец. Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда , (2) где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель , получим алгебраическое уравнение степени m относительно .Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени.

 Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями. Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f( ) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f( ). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения. Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением. Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны: таблица оригиналов и соответствующих им изображений; знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом. §1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу Определение 1.

 Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом

Последний вопрос позволяет рассматривать каждую задачу как звено в общем умении решать задачи, что ведет к накоплению опыта по решению задач. Ошибка 4. Смешение этапов анализа и поиска решения. Чтобы этого избежать, надо точно знать, какую цель мы преследуем на каждом этапе. Цель этапа анализа условия – выявить все имеющиеся связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения – выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя. На этапе анализа условия задачи: разбиваем условие задачи на части; выясняем, какие величины характеризуют описываемый в условии процесс; выясняем, какие величины известны, а какие требуется найти; устанавливаем связи между величинами. На этапе поиска решения выясняем, что можно найти по данным задачи, и поможет ли это дальнейшему решению. Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск ведем по следующим этапам: определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них; составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию; определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них; определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.

 Самоанализ деятельности учителя как основа управления процессом обучения математике

Составить систему задач, решаемых с помощью дифференциальных уравнений с учетом межпредметных связей: задачи, при составлении которых используется геометрический смысл производной; задачи, при составлении которых используется физический смысл производной; Урок геометрии по теме «Практическое применение подобия треугольников». Поставить цель урока, выбрать тип и продумать содержание. Составить несколько задач, формирующих умение выделять аналогичные элементы фигур и зависимости. Разработать систему упражнений на готовых чертежах, способствующих усвоению условия и заключения задачи. Составить несколько задач, способствующих формированию умения применять: 1) осевую симметрию; 2) центральную симметрию; 3) параллельный перенос. Указать типы задач, которые целесообразно решать с помощью векторов. Составить систему задач, формирующих умение осуществлять переход от одного способа задания функции к другому. При решении тригонометрических уравнений вида учащиеся часто механически используют способ решения алгебраических уравнений того же вида. Какие ошибки при этом допускают учащиеся? Какие упражнения могли бы предупредить появление такого рода ошибок? 2.2.3. Система упражнений по повышению компетентности учителя в выборе методов обучения.

 Исследование устойчивости разомкнутой системы электропривода ТПН-АД

Это определяет задачу по разработке методов исследования устойчивости разомкнутой системы электропривода ТПН-АД, а также оценки влияния различных факторов и параметров ЭП на вид и характер колебательных процессов. Появление автоколебаний в разомкнутых системах ЭП ТПН-АД, возможно объяснить наличием положительной обратной связи между углом сдвига тока нагрузки и амплитудой первой гармоники выходного напряжения преобразователя, а так же нелинейностью параметров электропривода. Колебательный процесс можно условно разделить на две категории - режимы «малых» и «больших» колебаний . «Малые» колебания - это незатухающие гармонические колебания выходных параметров АД при условии, что скорость ротора изменяется в пределах первого квадранта (не превышает синхронную, т.е. 0 м2. 4. Алгоритм модели электропривода ТПН-АД 5. Методы решения дифференциальных уравнений ЭП Математическая модель ЭП представляет собой систему алгебраических, дифференциальных и логических уравнений. Как правило, система содержит уравнения преимущественно первого порядка. К ним можно отнести уравнение Даламбера, выражение электромагнитного момента.

 Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

 Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Перепишем это уравнение в виде (1) Замена: .Перепишем уравнение в виде . Уравнение (1). Обратная замена: Ответ: Пример 16. Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести новые переменные и , то получим уравнение , являющееся однородным уравнением степени 3 относительно и . Однородные уравнения относительно и обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, например , если не является корнем уравнения, то оно превращается в уравнение с одной переменной . Решим уравнение . Разделим многочлен на , перейдём к равносильному уравнению Ответ: . Заключение В последнее время алгебраические уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основные методы решения таких уравнений были отмечены в нашей работе. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений.

 Моя профессиональная деятельность на инженерном уровне (специальность 220200)

Требования по математическим и общим естественнонаучным дисциплинам. (МЕНД) Инженер должен иметь представление: - о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений; - о математическом моделировании; - об информации, методах ее получения, хранения, обработки и передачи; знать и уметь использовать: - основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной ал­гебры, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории вероятно­стей и математи­ческой статистики, дискретной математики; - математические модели процессов в естествознании и технике; - вероятностные модели для анализа и количественных оценок конкретных процессов; - базовые понятия информатики и вычислительной техники, предмет и основные методы ин­форматики, закономерности протекания информационных процессов в системах управления, принципы работы техни­ческих и программных средств; - принципы согласования производительности источника с пропускной способностью канала связи, ин­формационные пределы избыточности при построении систем передачи информации; иметь опыт: - использования математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов; - исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимо­сти полу­ченных результатов; - использования основных приемов обработки экспериментальных данных; - аналитического и численного решения алгебраических уравнений; - исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных урав­нений; - аналитического и численного решения основных уравнений математической физики; - использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения, методов проекти­рования в области информатики, методов программирования; - построения оптимальных кодов для каналов без шума, а также избыточных кодов для каналов с шумом; в области физики, химии и экологии иметь представление: - о

 Методы решения уравнений в странах древнего мира

Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. . Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения , В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.

 Остроградский

Дифференциальные уравнения. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания два результата Остроградского. В «Заметке о методе последовательных приближений», предложен метод решения нелинейных уравнений с помощью разложения в ряд по малому параметру, позволяющей избегать так называемых вековых членов, содержащих аргумент вне тригонометрических функций. Такие члены нередко появляются при употреблении обыкновенных приемов интегрирования с помощью степенных рядов; неограниченно возрастая вместе с аргументом, они порождают ошибочные приближения, а содержащее их решение оказывается неподходящим. С этим явлением встречались еще астрономы XVIII в. и задачей уничтожения вековых членов занимались Лаплас, Лагранж и другие. Свой метод, основанный на одновременном разложении по параметру как самого решения, так и периода входящих в него периодических функций, Остроградский кратко пояснил на примере: , который записал в несколько иной форме: . Решение с точностью до величин первого порядка относительно , найденное обычным способом, содержит вековой член: ; решение по способу Остроградского от него свободно: .

 Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный Кравченко Арсений Борисович, ученик 9”Д” класса, Ермолицкий Алексей Александрович, ученик 9”Д” класса Технологическая гимназия №13 г. Минска Минск 2004 Общая теоретическая часть Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными. Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств. Пусть Х и Y – два произвольных множества. Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y. Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

 Иррациональные уравнения

Курсовая работа Иррациональные уравнения Содержание: Введение 1. Основные определения и теоремы 2. Стандартные иррациональные уравнения и методы их решения 2.1 Уравнения вида 2.2. Уравнения вида 2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной 2.4 Уравнения вида , , 3. Нестандартные методы решения иррациональных уравнений 3.1 Применение основных свойств функции 3.1.1 Использование области определения уравнения 3.1.2 Использование области значений функции 3.1.3 Использование монотонности функции 3.1.4 Использование ограниченности функции 3.2 Применение производной 3.2.1 Использование монотонности функции 3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функций 4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения 4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность 4.2 Иррациональные показательные уравнения 4.3 Иррациональные логарифмические уравнения Заключение Литература Введение Тема моей курсовой работы 81}. Заключение Данная курсовая работа помогла мне научиться решать иррациональные уравнения следующих типов: стандартные, нестандартные, показательные, логарифмические, повышенного уровня.

 Решение одного нелинейного уравнения

Тем самым находятся некоторые начальные приближения для корней уравнения (1). На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня. Численные методы решения нелинейных уравнений являются, как правило, итерационными методами, которые предполагают задание достаточно близких к искомому решению начальных данных. Существует множество методов решения данной задачи. Но мы рассмотрим наиболее используемые методы решения по поиску корней уравнения (1): метод половинного деления (метод бисекции), метод касательных (метод Ньютона), метод секущих и метод простой итерации. Теперь отдельно по каждому методу: 1. Метод половинного деления (метод бисекции)Более распространенным методом нахождения корней нелинейного уравнения является метод деления пополам. Предположим, что на интервале расположен лишь один корень x уравнения (1). Тогда f (a) и f (b) имеют различные знаки. Пусть для определения f (a) }Результаты расчета: На интервале x функции xІ - l (1 x) - 3 = 0 корень уравнения x = 2.026689. Количество итераций при приближенной точности = в методе половинного деления составляет 20, в методе касательных составляет 4, в методе секущих составляет 5 и в методе простых итераций составляет 6.