Учение о параллельности. Открытие неевклидовой геометрии

 100 великих оригиналов и чудаков

Однако для успеха таких „разрушительных“ предприятий требовалось предложить что-то не менее убедительное и совершенное. Ректор Харьковского университета Т.Ф. Осиповский в начале XIX века высказал мысль о геометрии без постулата Евклида о параллельных. К тому времени Гаусс, по его позднейшему признанию, уже осмыслил эту идею, хотя выступать с ней публично не решился, остерегаясь общественного мнения. Немало неприятностей доставило открытие неевклидовой геометрии Лобачевскому. Кстати, философская идея в этом случае опередила научную мысль; Кант на полвека раньше высказался о возможности „многоразличных видов пространства“: „наука о них была несомненно высшей геометрией“. Доклад Лобачевского о новой теории, произнесённый в Казани и там же незамедлительно напечатанный, называйся: „Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных“ (1826). Учёный вернул геометрии её первозданный смысл: обратился к системам реальных измерений, которые, даже выполненные с безупречной точностью, далеко не всегда подтверждаются аксиомами и теоремами Евклида

 Естествознание и техника в России XIX в.

Деятель университетского образования. Став профессором Казанского университета (1816), вел напряженную научно-исследовательскую работу. С 1827 по 1846 г. являлся ректором Казанского университета, добился того, что при университете были построены библиотека и астрономическая обсерватория, физический кабинет и химическая лаборатория, анатомический театр. Открытие неевклидовой геометрии изложено ученым в основополагающем труде "О началах геометрии" (1829–1830). Называя открытую им новую систему "воображаемой геометрией", ученый писал: "Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику, и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничиваться или совсем не допускать зависимости линий от углов". За этим последовал ряд новых сочинений: "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных" (1835–1838), "Геометрические исследования по теории параллельных линий" (1840) и, наконец, последняя работа "Пангеометрия" (1855–1856), опубликованная на русском и французском языках.

 Новая философская энциклопедия. Том третий

Гауссом, Лобачевским и Больяи были открыты неевклидовы геометрии, возникшие при попытке выяснить непротиворечивость пятого постулата Евклида, который предполагает возможность проведения через данную точку лежащую вне данной прямой, единственной прямой, параллельной данной. Лобачевский строит неевклидову (гиперболическую) геометрию, в которой через данную точку можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной; Риман конструирует (эллиптическую) геометрию, в которой нельзя провести ни одной параллельной. Позже, однако, неевклидовы геометрии описываются не зависимым от пятого постулата образом, при помощи задания соответствующей метрики, которая и определяет тип пространства. Метрика задает расстояние между двумя точками пространства, есть локальная характеристика пространства и имеет следующие свойства: 1) d (х, х) = 0; 2) если х * у> то d (jc, у) = d(y,х) ±0;3)d(x,z)<>d(ху у) + d(y, z), гдех,уу z — произвольно выбранные точки пространства. При преобразовании координат, что в теории относительности соответствует переходу от одной (локально инерциальной) системы к другой, метрика, задаваемая метрическим тензором, меняется кова- риантным образом и несет в себе информацию о свойствах (в частности о кривизне) пространства в данной точке

 Неевклидова геометрия

Министерство образования Российской Федерации Главное управление общего и профессионального образования Администрации Иркутской области Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования Братский педагогический колледж №2 КУРСОВАЯ РАБОТА Тема: Неевклидова геометрия Выполнил: Студент 3 курса В группы Вощевоз Светлана Николаевна Специальность: 0301 «Математика» Руководитель: Савельева Екатерина Васильевна Преподаватель высшей квалификационной категории г. Братск, 2001 Оглавление. I. Основные понятия в геометрии Евклида и в современной геометрии. II. Аксиомы в «Началах» Евклида III. Открытие неевклидовой геометрии. IV. Из истории неевклидовой геометрии. V. Заключение. VI. Библиография. VII. Приложение. Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

 Одномерный человек

Это провоцирующее утверждение, которое легко недооценить, и я возьму на себя смелость возможной реинтерпретации. Оно относится не просто к тому факту, что, несмотря на открытие неевклидовой геометрии, мы воспринимаем и действуем в трехмерном пространстве; или что, несмотря на «статистическую» концепцию причинности, мы по-прежнему действуем, руководствуясь здравым смыслом, в соответствии со «старыми» законами причинности. Не противоречит это утверждение и постоянным переменам в мире повседневной практики как результату «прикладной математики». На карту, возможно, поставлено намного большее: а именно внутренний предел существующей науки и научного метода, в силу которого они расширяют, рационализируют и оберегают господствующий Lebenswelt, не изменяя его экзистенциальной структуры — то есть не усматривая качественно новой формы «видения» и качественно новых отношений между людьми и природой. Усваивая почтение к институционализированным формам жизни, наука (как чистая, так и прикладная) приобрела бы, таким образом, стабилизирующую, статическую, консервативную функцию

 Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления

В отдельных случаях может возникнуть иллюзия доказательства. Видимо, это и происходит в основном в случаях получения все новых "доказательств" теоремы Ферма. Такое неявное знание в математике представляет собой скрытые леммы или определения, имеющие вид аксиом, как, например, постулат параллельных до открытия неевклидовой геометрии. Понимание того, что неявное знание в математике действительно существует и играет важнейшую роль, пришло в математику только в нашем столетии, при попытках перестройки математики на единой аксиоматической основе. Выяснилось, что многие доказательства некорректны из-за наличия явно не сформулированных, недоказанных или ложных посылок. Для повышения уровня математической строгости необходимо указанные посылки выявить и обосновать. Без решения этой проблемы формализация доказательств невозможна, в том числе и с помощью компьютера . Математическая логика, как относительно новая область математики, также занимается обоснованием важных методов доказательства математики, считавшихся ранее эвристическими, и входивших в неявное знание.

 Проблемы философии

Общая теория относительности доказала, что течение времени и протяженность тел зависят от скорости движения этих тел и что структура или свойства четырехмерного континуума (пространство-время) изменяются в зависимости от скопления масс вещества и порождаемого ими поля тяготения. В создании совр, теории в. и п. большую роль сыграли идеи Лобачевского, Б. Римана, К. Ф. Гаусса. Открытие неевклидовой геометрии опровергло кантовское учение о в. и п. как внеопытных формах чувственного восприятия, Исследования Бутлерова, Е. С. Федорова и их последователей обнаружили зависимость пространственных свойств от физической природы материальных тел, обусловленность физико-химических свойств материи простраиственным расположением атомов. Факт изменчивости наших представлений о в. и п. используется идеализмом для отрицания их объективной реальности. Согласно диалектическому материализму, человеческое познание в своем развитии дает все более глубокое и правильное представление об объективно-реальном в. и п. 35.Отражение - всеобщ. св-во материи. Специфика чел. формы отр.Все явления, объекты, процессы объ. сущ-го мат. мира беспрестанно взаимод. между собой и в ходе этого взаимодействия претерпевают изм-я. Кажд. из взаимодейств. объектов, процессов и т. д., воздействуя на другие и вызывая в них изм-я, оставл. след в том объекте, явлении, процессе, на кот. он воздействует, и тем самым запечатлевает себя в рез-те этого воздействия. Т.о. в процессах взаимод-я мат. объекты, явления, процессы фиксируют в своих изменениях свойства воздействующих на них объектов, явлений, процессов.

 Культура XIX века

Для естественных наук были характерны попытки более глубокого проникновения в понимание основных законов природы. Исследования философов (физика и агробиолога М. Г. Павлова, медика И. Е. Дядьковского) внесли значительный вклад в этом направлении. Профессор Московского университета биолог К. Ф. Рулье еще до И. Дарвина создал эволюционную теорию развития животного мира. Математик Н. И. Лобачевский в 1826г., опередив современных ему ученых, создал теорию «неевклидовой геометрии». Церковь объявила ее еретической, а коллеги признали правильной лишь в 60-е годы ЗДХ в. В 1839г. завершилось строительство здания Пулковской астрономической обсерватории. Она была оснащена современной для своего времени аппаратурой. Обсерваторию возглавил астроном В. Я. Струве, обнаруживший концентрацию звезд в главной плоскости Млечного Пути. В прикладных науках особенно важные открытия были сделаны в области электротехники, механики, биологии и медицины. Физик Б. С. Якоби в 1834г. сконструировал электромоторы, работавшие от Гальванических батарей. Академик В. В. Петров создал ряд оригинальных физических приборов и положил начало практическому применению электричества. П. Л. Шиллинг создал первый записывающий электромагнитный телеграф. Отец и сын Е. А. и М. Е. Черепановы на Урале построили паровой двигатель и первую железную дорогу на паровой тяге. Химик Н. Н. Зинин разработал технологию синтеза анилина — органического вещества, употреблявшегося для закрепления красок в текстильной промышленности. П. П. Аносов раскрыл утерянный в средние века секрет изготовления булатной стали. Н. И. Пирогов впервые в мире начал делать операции под эфирным наркозом, широко применял антисептические средства в военно-полевой хирургии. Профессор А.М. Филомафитский разработал методику использования микроскопа для исследования элементов крови и совместно с Н. И. Пироговым метод внутривенного наркоза.

 Единая теория поля

Таким образом, согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитационное поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени. Следует подчеркнуть, что создание теории тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии русским математиком Н. И. Лобачевским, венгерским математиком Я. Больяй, немецкими математиками К. Гауссом и Б. Риманом. В отсутствие тяготения движение тела по инерции в пространстве-времени специальной теории относительности изображается прямой линией, или, на математическом языке, экстремальной (геодезической) линией. Идея Эйнштейна, основанная на принципе эквивалентности и составляющая основу теории тяготения, заключается в том, что и в поле тяготения все тела движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое, однако, искривлено, и, следовательно, геодезические линии уже не прямые. Массы, создающие поле тяготения, искривляют пространство-время. Тела, которые движутся в искривленном пространстве-времени, и в этом случае движутся по одним и тем же геодезическим линиям независимо от массы или состава тела.

 Кризис классического естествознания на рубеже ХIХ-ХХ веков

Этот принцип впоследствии оказал значительное влияние на А. Эйнштейна. Рациональное зерно “принципа Маха” состояло в том, что свойства пространства-времени обусловлены гравитирующей материей. Но Мах не знал, в какой конкретной форме выражается эта обусловленность. К новым идеям о природе пространства и времени подталкивали физиков и результаты математических исследований, открытие неевклидовых геометрий. Так, английский математик Клиффорд в 70-х годах высказал идею, что многие физические законы могут быть объяснены тем, что отдельные области пространства подчиняются неевклидовой геометрии. Более того, он считал, что кривизна пространства может изменяться со временем. Клиффорда принадлежит к числу немногочисленных в ХIХ веке провозвестников эйнштейновской теории гравитации. Конец XIX в. в истории физики отмечен рядом принципиальных открытий, которые непосредственно привели к научной революции на рубеже ХIХ-ХХ веков. Важнейшие из них: открытие рентгеновских лучей, открытие электрона и установление зависимости его массы от скорости, открытие радиоактивности, фотоэффекта и его законов и др. В 1895 г. Вильгельм Рентген (1845 – 1923) открыл необычные лучи, которые впоследствии получили название рентгеновских.

 Евклидова и неевклидова геометрия

Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову”; по-видимому, под “потревоженными осами” Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий. Янош Бояи. Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи. Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное название труда Я. Бояи – “Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)” и его обычно коротко называют просто “Аппендикс”. Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", понял его, но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи. Геометрия Лобачевского В мемуаре “О началах геометрии” (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г.

 Николай Иванович Лобачевский (1792 - 1856)

Эта мужественная борьба за научную истину резко отличает Лобачевского от других современников, приближавшихся тоже к открытию неевклидовой геометрии. Замечательный венгерский математик Янош Больяи опубликовал на 3 года позже Лобачевского сво исследование "Аппендикс" - добавление к книге его отца. В этой работе он несколько с иной стороны подошел к тем же результатам, что и Лобачевский. Но не встретив одобрения и поддержки, он прекратил борьбу.Выдающийся немецкий математик Гаусс, как выяснилось из опубликованных посмертно его переписки, получил некоторые начальныесоотношения новой геометрии, но, оберегая свой покой, а также, быть может, не будучи уверен в правильности и объективной значимости этих результатов, запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания об его взглядах. Восхищаясь в частной переписке с друзьями геометрическими работами Лобачевского он ни одним словом не высказался о них публично. Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П.И.Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей.

 ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович

Эта мужественная борьба за научную истину резко отличает Лобачевского от других современников, приближавшихся тоже к открытию неевклидовой геометрии. Замечательный венгерский математик Янош Больяи опубликовал на 3 года позже Лобачевского свое исследование "Аппендикс" - добавление к книге его отца. В этой работе он несколько с иной стороны подошел к тем же результатам, что и Лобачевский. Но не встретив одобрения и поддержки, он прекратил борьбу. Выдающийся немецкий математик Гаусс, как выяснилось из опубликованных посмертно его переписки, получил некоторые начальные соотношения новой геометрии, но, оберегая свой покой, а также, быть может, не будучи уверен в правильности и объективной значимости этих результатов, запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания об его взглядах. Восхищаясь в частной переписке с друзьями геометрическими работами Лобачевского он ни одним словом не высказался о них публично. Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П.И.Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей.

 Знание и понимание

Научившись ходить по улице, нам уже не нужно вглядываться во все детали. Однако при попытке объяснить кому-то маршрут, мы столкнемся с необходимостью заново исполнить его, пристально вглядываясь в дорогу. И в результате исполнения на ней появятся ответвления, повороты. Однако мы можем не заметить каких-то альтернатив. Это зависит от глубины пристального вглядывания. Чем глубже оно, тем большая часть маршрута станет для нас актуально непонятной, начнет мерцать, что принудит нас к раскрытию этой неясности. Ни один предмет не может быть дан нам реально без актуализации пристального вглядывания. Однако необходима и вторая способность: способность согласиться на выбор, диктуемый событием, признать и исследовать новую возможность. Эту способность мы назовем интересом. Интерес, по сути, есть деятельность полагания новой альтернативы. Он возникает вместе с вопросом "что это?" Пристальное вглядывание разрушило привычные контуры (мышь перестала бежать), а интерес вновь собрал их в неведомое пока что. Однако можно заинтересоваться и привычным. Скажем, открытие неевклидовой геометрии произошло не в силу обнаружения реальной альтернативы евклидовой (что произошло позже), а в силу полагания ее возможности (новый пятый постулат).

 Философские аспекты теории относительности А. Эйнштейна

Исключением не был и Ньютон в создании своей механики. Лобачевский впервые предпринял попытку подвергнуть сомнению незыблемость учения Евклида, «он разработал первый вариант геометрии криволинейного пространства, в которой через точку на плоскости можно провести более одной прямой параллельной данной, сума углов треугольника меньше 2d и так далее; введя постулат о параллельности прямых, Лобачевский получил внутренне не противоречивую теорию». Геометрия Лобачевского была первой из множества разработанных позднее подобных теорий, в качестве примера можно привести сферическую геометрию Римана и геометрию Гаусса. Таким образом, стало ясно, что геометрия Евклида не является абсолютной истиной, и что при определенных обстоятельствах могут существовать другие геометрии отличные от Евклидовой. «Успехи естественных наук, приведших к открытию материи в состоянии поля, математических знаний, открывших неевклидовы геометрии, а также достижения философского материализма являлись фундаментом, на котором возникло диалектико-материалистическое учение об атрибутах материи.

 История развития неевклидовой геометрии

Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию». Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил. Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии.

 История геометрии

Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию». Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил. Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии.

 Ответы на экзаменационные вопросы по истории

Школьное обучение не было предусмотрено для крепостных. Для гос-ных крестьян были предусмотрены приходские училища(1 год). Образцовым заведение стал Царско-сельский лицей.(Пушкин, Пущин, Дельвиг) Широко была распространена система домашнего образования. Отсутствовало женское образование, только несколько закрытых институтов. В политике правительства доминировали консервативные тенденции в отношении начального и среднего образования. Однако открывались новые университеты ( В Петербурге, Харькове, Казани). Однако у университетов не было автономии и была высокая плата. Университеты стали основными центрами, пропагандировавшими современные научные достижения и формировавшими национальное самосознание. Складывался слой русской интеллигенции.(поэт Кольцов, публицист Полевой.) Наука. Началось выделение самостоятельных научных дисциплин. Вели свою деят-ть ученые (биолог Павлов, математик Лобачевский, создавший неевклидову геометрию, астроном Струве.) Важные открытия в области электротехники, механики, биологии. Создание электромоторов, первый паровой двигатель (братья Черепановы), 1-ая железная дорога. Был осуществлен ряд экспедиций. Крузенштерн и Лисянский (Аляска и Камчатка). Белиинсгаузен и Лазарев (открыли Антарктиду).