Дифференциальные и интегральные функции распределения

 Всё о метрологии

В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность. Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами. 4.2. Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения Xi будем называть результатами отдельных наблюдений. Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1]. Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Xi в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х: Fx(x) = P(Xi ≤ x)  (4) Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие — значений, принимаемых случайными величинами

 Обработка результатов экспериментов и наблюдений

Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано, вероятность того, что Х ( х1 ( где х1( заранее выбранное число) равна нулю, это событие не является невозможным. Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию ( (х) ( F( (х)называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайной величины Х. Из определения производной можно записать ( (x) = F( (x) = ,т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х ( (х) к (х, когда (х стремится к нулю. Используя понятия интегральной функции распределения и определенного интеграла можно записать ( (x) = F( (x) или F (x) = p (x1 < X < x2) = . Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5). Если определяет заштрихованную область в соответствующих пределах, то p (х ( Х ( х ( (х) ( ( (х) (х. Рис. 5. Геометрический смысл дифференциальной функции распределения Из свойств интегрального распределения следует .

 Коллоидная химия

Разнообразные адсорбционные методы дисперсионного анализа позволяют определять удельные поверхности , что примерно соответствует размера частиц от 10 до 1000 нм; методы, основанные на исследовании газопроницаемости слоя анализируемого вещества при фильтровании через него воздуха при атмосферном давлении или в вакууме. Эти методы позволяют определять удельную поверхность; в ряде случаев дисперсность порошков измеряют по скорости растворения, теплофизическим, магнитным и другим характеристикам системы, связанным с размером частиц дисперсной фазы или межфазной поверхности. Во всех упомянутых методах дисперсионного анализа получают, как правило, интегральную характеристику, позволяющую судить о некоторых средних параметрах системы. В некоторых случаях удается определить также дифференциальную функцию распределения числа частиц (их объема, массы) по размерам. Рассмотрим подробнее такие широко распространенные методы дисперсионного анализа, как ситовый и седиментационный. СИТОВЫЙ АНАЛИЗ Ситовый анализ - это определение гранулометрического и фракционного состава измельченных сыпучих материалов

 Измерение случайных процессов

Здесь D—дисперсия процесса X( ), а ? k — интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математическое ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реализации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом, 2 D d >? 0 или 2 D d >? i=1 Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4 приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса, т. е. работающего согласно выражению 2 D d - - 1 На рисунке НП — нормирующий преобразователь; И1 и И2 — интеграторы; ВУ— вычитающее устройство; КУ— квадратирующее устройство; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифровой прибор; РП — регистрирующий прибор. Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х ( ) может быть определена с помощью соотношений 2 1/2 ? =— дисперсия Х ( ); —время усреднения. При усреднении по совокупности реализаций 2 1/2 ? = D° 3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Одномерная интегральная функция распределения вероятности F (X) равна вероятности того, что мгновенное значение произвольной реализации в произвольный момент времени меньше установленного уровня, т. е. Xi ( i) ? X. Функция F (X) определяется как предел выборочного среднего: F (X)= lim Sd = 0 при x ( ) > X Поскольку интегральные F (X) и дифференциальные w (X) функции распределения вероятности связаны между собой соотношениями X w (X) =(dF (X))/dX ; F (X)= ? w (X) dX -? справедливо выражение w (X) = lim ((F(X ?X)-F (X))/ ?X)= lim ((Sd )/ ?X) ?X>0 ?X>0 1 при X < x ( ) ? X ?X где ? = 0 при x ( ) ? X, x ( ) > X ?X В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала.

 Диалоги (май 2003 г.)

Стремление удешевить строительство привело к трагедии голландского урагана, вызвало большие разрушения и самое большое несчастье погибло около 2000 человек. Таким образом, правильное определение вероятности этих катастроф нам очень важно. Так вот, мы посмотрели на эту задачу и построили простую модель, заключающуюся в расчёте стока, в который входят осадки, испарения, сток и влагозапасы бассейна. Такая модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением. Мы написали уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для этой системы и получили достаточно простое распределение со степенным затуханием функции распределения вероятности при больших величинах этого стока. А поскольку можно предполагать, что масштабы этого бедствия функционально связаны с расходом воды и уровнем воды, мы стали использовать эту функцию для расчёта катастрофических наводнений на разных реках. Мы начали с Невы. Потому что для неё посчитаны детальные гидродинамические модели, и можно было сравнить эту теорию с гидродинамическими теориями наводнений. И.К

 Надежность технологических машин

32.1 Совокупность значений случайных величин расположенных в возрастающем порядке, с указанием их вероятностей или частостей – это: мода; вариационный ряд распределения; распределение случайных величин; коэффициент вариации; медиана. 33.1 К мерам рассеяния случайной величины относятся: размах, мода, медиана; дифференциальная, интегральная функции; размах, дисперсия, средняя арифметическая; размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; средняя взвешенная. 34.1 Вероятность безотказной работы машины Р( ) при совместном действии износных и внезапных отказов может быть определена по теореме: Р( ) = Ри( ) Рв( ) Р( ) = Ри( )/Рв( ) Р( ) = Ри( )-Рв( ) Р( ) = Ри( ) Рв( ) Р( ) = Ри( ) (-Рв( )) 35.1 Какому закону распределения чаще всего подчиняются внезапные отказы: Ребиндера; нормальному закону распределения; логарифмическому; экспоненциальному; Релея. 36.1 Вероятность любого случайного события – есть величина лежащая на участке: от –1 до 1 от

 Изучение законов нормального распределения и распределения Релея

Мгновенные значения случайного процесса в фиксированный момент времени являются случайными величинами. Статистические свойства случайного процесса характеризуются законами распределения, аналитическими выражениями которых являются функции распределения. Одномерная интегральная функция распределения вероятностей случайного процесса Здесь P{X( 1)- усилитель; (- интегратор; И - индикатор; Э0 - осциллограф. Принцип работы стенда Аппаратурный анализ законов распределения осуществляемый в лабораторной установке основан на измерений относительного времени пребывания реализации в заданном интервале значения. Сумматор позволяет получать сигналы с разными законами распределения. Требуемый уровень "х" при снятии законов распределения по точках устанавливают с помощью потенциометра “постоянная составляющая". Глубину анализа " х” определяет потенциометр "уровень анализа". С помощью амплитудных селекторов и формирователей вырабатываются прямоугольные импульсы длительность которых равна времени пребывания входного сигнала ниже порогов селекции.

 Имитационное моделирование

Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее довольно прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует: 1. Построить график или таблицу интегральной функции распределения на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у). 2.С помощью генератора случайных чисел выбрать случайное десятичное число в пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов). 3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей. 4.Опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс. 5.Записать полученное значение х.

 Структурная надежность систем

Для невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий понятие наработки различается: в первом случае подразумевается наработка до первого отказа (он же является и последним отказом), во втором - между двумя соседними во времени отказами (после каждого отказа производится восстановление работоспособного состояния). Математическое ожидание случайной наработки Т (1.1) является характеристикой безотказности и называется средней наработкой на отказ (между отказами). В (1.1) через обозначено текущее значение наработки, а f( ) - плотность вероятности ее распределения. Вероятность безотказной работы - вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет: (1.2) Вероятность противоположного события называется вероятностью отказа и дополняет вероятность безотказной работы до единицы: (1.3) В (1.2) и (1.3) F( ) есть интегральная функция распределение случайной наработки . Плотность вероятности f( ) также является показателем надежности, называемым частотой отказов: (1.4) Из (1.4) очевидно, что она характеризует скорость уменьшения вероятности безотказной работы во времени.

 Диагностика отказов элементов и устройств автоматического управления

Это вызвало необходимость создать основные критерии, с помощью которых можно было бы количественно оценить надежность различных элементов, дать сравнительную оценку надежности различных изделий. К числу широко применяемых критериев надежности по относятся: вероятность безотказной работы за время (1) определяется как вероятность события, когда время безотказной работы меньше, чем время ; . вероятность отказов (2) представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины F( ). Плотность распределения случайной величины определяется как производная от функции распределения (3) . среднее время безотказной работы (4) понимается как математическое ожидание времени работы изделия до отказа; . среднее время между соседними отказами (наработка на отказ) (5)где cpi - среднее время исправной работы между двумя соседними отказами i- того образца аппаратуры, М - число испытываемых образцов. Понимается как среднее время ремонтируемого изделия между двумя соседними отказами; . Интенсивность отказов (опасность отказов) (6)Показывает какая доля от работающих в момент времени элементов отказывает в единицу времени; . частота отказов (7)Понимается плотность вероятности времени работы изделия до первого отказа, статистически оно определяется как отношение числа отказавших изделий в единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий, при условии, что все вышедшие из строя элементы не восполняются; . средняя частота отказов (8)Понимается отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются новыми.

 Проведение статистического анализа и прогнозирование результатов выпуска изданий Беларуси и России

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Для дискретных случайных величин различия между вариантами случайных величин выражаются целыми числами. Совокупность возможных значений случайной величины и вероятность того, что она примет определенное значение образуют закон распределения случайной величины. Распределение дискретных случайных величин показывается в виде таблицы, в которой каждому значению случайной величины соответствует ее вероятность. Для непрерывной случайной величины составление ряда распределения заключается в том, что диапазон всех значений случайной величины разбивается на некоторое количество интервалов. Для каждого интервала измеряется количество попаданий в этот интервал. На основании этого рассчитывается вероятность попадания по каждому интервалу. Результат выводится в виде гистограммы. Наиболее общую характеристику распределения дискретной или непрерывной величины дает интегральный закон распределения. Он устанавливает вероятность того, что случайная величина (х) остается меньше некоторой количественной переменной (А), т. е. , (1.2) где — интегральная функция распределения.

 Кинетическое уравнение Больцмана

Множители и не зависят от переменных . Преобразовав эту часть интеграла с помощью соотношения (4) , получим окончательный вид интеграла столкновений (12) и кинетического уравнения (13)Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана.Рассмотрим не зависящее от времени распределение в состоянии равновесия системы в отсутствии внешних воздействий. Такое распределение является стационарным (не зависит от времени) и однородным (не изменяется в области пространства, занимаемой системой). Наложенные условия обнуляют производную функции распределения по времени и трём координатам; левая часть кинетического уравнения обращается в нуль. Подынтегральное выражение обращается в нуль вследствие равенства (3). Следовательно, равновесное распределение в отсутствии внешних полей удовлетворяет кинетическому уравнению тождественным образом. Если газ находится в равновесном состоянии под действием внешнего потенциального (например, гравитационного) поля, то функция распределения и в этом случае удовлетворяет кинетическому уравнению.

 Кинетическое уравнение Больцмана.

Множители и не зависят от переменных . Преобразовав эту часть интеграла с помощью соотношения (4), получим окончательный вид интеграла столкновений (12) и кинетического уравнения (13) Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана. Рассмотрим не зависящее от времени распределение в состоянии равновесия системы в отсутствии внешних воздействий. Такое распределение является стационарным (не зависит от времени) и однородным (не изменяется в области пространства, занимаемой системой). Наложенные условия обнуляют производную функции распределения по времени и трём координатам; левая часть кинетического уравнения обращается в нуль. Подынтегральное выражение обращается в нуль вследствие равенства (3). Следовательно, равновесное распределение в отсутствии внешних полей удовлетворяет кинетическому уравнению тождественным образом. Если газ находится в равновесном состоянии под действием внешнего потенциального (например, гравитационного) поля, то функция распределения и в этом случае удовлетворяет кинетическому уравнению.

 Автоматизация технологических процессов и производств

Применение для решения динамических задач теории надеж­ности указанных преобразований позволяет, так же как и в стати­ческой задаче, пользоваться структурными методами. Обычно с решением динамической зада­чи связывается надежность восстанавливаемых систем. Динамическая задача дает возможность также разработать критерии надежности систем или ее отдельных составляющих. Учитывая, что надежность системы является вероятностной харак­теристикой, для разработки критериев можно использовать функ­ции распределения вероятностей в зависимости от рассматривае­мого динамического параметра или моменты функций распределе­ния вероятностей. Функции распределения вероятностей представляют наиболее полную информацию о надежности системы. При этом в зависи­мости от целей исследования, особенностей рассматриваемой системы могут применяться интегральные, дифференциальные или условные функции распределения вероятностей. Показателями надежности называются количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность системы. Выбор тех или иных показателей продиктован видом исследуемой системы.

 Прогнозирование с учетом фактора старения информации

Естественно, что значение функции (Т) в начальный момент времени =0 позволяет считать, что (0)=0. Можно также считать, что (0) заметно больше нуля. Интегральные функции ( ) и ( ), выраженные в абсолютных единицах измерения (квантах информации), можно выразить в относительных единицах, что позволит устранить искажающее воздействие динамики границы ретроспекции. С этой целью введем новую переменную m( ), которая обозначает долю полезной информации в общем ее объеме при формировании прогнозного фона, достигнутую к моменту времени Т. По определению динамические характеристики m( ) совпадают с аналогичными характеристиками ( ). Функция m( ) – монотонно возрастающая функция ретроспекции, изменяющаяся в интервале (0,1). Когда (Т) приближается к ( ), то m(Т) стремится к единице асимптотически при . Это обстоятельство позволяет получить более простые аналитические зависимости для кумулятивной функции, не искажая значительно реальной картины. Для дальнейшей спецификации кумулятивной функции необходимо кроме интегральной функции рассмотреть и дифференциальную, определив ее следующим образом (2.2) Тогда дифференциальная относительная кумулятивная функция будет иметь вид: вытекают из качественного описания процесса.

 К методике преподавания прикладной математики в военно-инженерном вузе

В курсе военно-профессиональной дисциплины - завершающий этап реальной задачи, требующий лишь типовых расчетов. Так, например, в решается задача определения периода планово-предупредительных работ для отдельного узла машины. Схема решения такова: по известному закону распределения плотности вероятности отказа узла строится соответствующая интегральная функция. Затем по заданной величине доверительной вероятности безотказной работы узла и графику интегральной функции графически определяется период планово-предупредительных работ. При этом необходимая предварительная задача определения оптимальной доверительной вероятности лишь упоминается как "сложная проблема, решаемая в полном объеме в центральных учреждениях". В данном случае авторы пособия не без основания ориентируются на военного специалиста действующих частей, где подобные задачи решаются на основе личного опыта эксплуатации или (по необходимости) сведены к использованию нормативных данных. Однако очевидно, что курсанты, ориентированные на продолжение военного образования и исследовательскую работу, должны осваивать полные схемы задач подобного рода.

 Концепции мироустройства, идеологии и социальные практики-2

Все виды шизофрений и депрессий связаны с нарушениями функций и синхронизации работы участков коры мозга. Эпилепсия и истерия также диагностируются перечисленными средствами и являются следствием нарушения интегральных функций центральной нервной системы. Поскольку переходы психозы – психопатии – акцентуации – норма континуальны, нерезкие, то можно предположить континуальность выраженности функций и синхронизации работы участков коры мозга. Уровень выраженности акцентуаций отражает характеристики этих параметров у разных генотипов, и именно через них происходит наследование сложных поведенческих функций в трех названных выше факторах активности. Таким образом можно констатировать, что нормой для фенотипа считается некоторый интервал значений параметров организма на их распределении по популяции, при этом у разных популяций эта норма может быть различной. В теории когнитивного диссонанса исследуется динамика возникновения когнитивных конфликтов и способы их разрешения, процесс взаимной адаптации среды и модели мира личности.

 Измерение характеристик случайных сигналов

Зависимость или независимость результатов таких усреднений определяет следующие фундаментальные свойства случайных сигналов – стационарность и эргодичность. Стационарным называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Эргодическим называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации. Для стационарных эргодических сигналов усреднение любой вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации. Для практических целей наиболее важными являются следующие вероятностные характеристики стационарных эргодических сигналов, имеющих длительность реализации Т: - среднее значение (математическое ожидание). Оно характеризует постоянную составляющую сигнала ; (1) - средняя мощность. Она характеризует средний уровень сигнала ; (2) - дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей сигнала: ; (3) - среднеквадратическое отклонение (СКО) ; (4) - функция распределения, которая определяется как интегральная вероятность того, что значение xi( j) в j-й момент времени будут ниже некоторых значений X: . (5) Для заданных стационарных эргодичных сигналов Fx характеризуется относительным временем пребывания реализации ниже уровня Х ( х (при измерении ), то мы получим: ,.