Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

 Введение в философию

Как видим, перед лицом бесконечности всякие конечные различия исчезают, и двойка становится равна единице, тройке и любому другому числу. В геометрии, как показывает Николай Кузанский, дело обстоит так же, как и в арифметике. Различение рациональных и иррациональных отношений, на котором держалась геометрия греков, он объявляет имеющим значение только для низшей умственной способностиP рассудка, а не разума. Вся математика, включая арифметику, геометрию и астрономию, есть, по его убеждению, продукт деятельности рассудка; рассудок как раз и выражает свой основной принцип в виде запрета противоречия, то есть запрета совмещать противоположности. Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Николай КузанскийP средство созидания истинного. Правда, само это знание имеет особый характерP оно есть «умудренное неведение». Тезис о бесконечном как мере вносит преобразования и в астрономию. Если в области арифметики и геометрии бесконечное как мера превращает знание о конечных соотношениях в приблизительное, то в астрономию эта новая мера вносит, кроме того, еще и принцип относительности

 Натурфилософия эпохи Возрождения

Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанский - средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер - оно есть «умудренное неведение». Тезис о бесконечном как мере вносит преобразования и в астрономию. Если в области арифметики и геометрии бесконечное как мера превращает знание о конечных соотношениях в приблизительное, то в астрономию эта новая мера вносит, кроме того, еще и принцип относительности. И в самом деле: так как точное определение размеров и формы мироздания может быть дано лишь через отнесение его к бесконечности, то в нем не могут быть различены центр и окружность. Рассуждение Кузанца помогает понять связь между философской категорией единого и космологическим представлением древних о наличии центра мира, а тем самым - о его конечности. Осуществленное им отождествление единого с беспредельным разрушает ту картину космоса, из которой исходили не только Платон и Аристотель, но и Птолемей и Архимед.

 Вечное состязание Ахилла и черепахи

Хорхе Луис Борхес Вечное состязание Ахилла и черепахи Понятия, связанные со словом «драгоценность» дорогая безделушка, изящная, но не крупная вещица, удобство перемещения, прозрачность, не исключающая непроницаемости, утеха в старости,P оправдывают его употребление в данном случае. Не знаю лучшего определения для парадокса об Ахилле, столь устойчивого и настолько не поддающегося никаким решительным опровержениям его отменяют на протяжении более двадцати трех веков,P что мы уже можем поздравить его с бессмертием. Повторяющиеся наплывы тайны ввиду такой прочности, тщетные ухищрения разума, к которым он побуждает человечество,P это щедрые дары, за которые мы не можем не благодарить его. Насладимся же им еще раз, хотя бы для того, чтобы убедиться в своей растерянности и его глубокой загадочности. Я намерен посвятить несколько страниц несколько минут, разделенных с читателем,P его изложению и самым знаменитым коррективам к нему. Известно, что придумал его Зенон Элейский, ученик Парменида, отрицавшего, что во Вселенной может что-либо произойти

 Возрожденческая трактовка диалектики. Николай Кузанский и принцип совпадения противоположностей

Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанец - средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер - оно есть "умудренное неведение". Тезис о бесконечном как мере вносит преобразования и в астрономию. Если в области арифметики и геометрии бесконечное как мера превращает знание о конечных соотношениях в приблизительное, то в астрономию эта новая мера вносит, кроме того, еще и принцип относительности. И в самом деле: так как точное определение размеров и формы мироздания может быть дано лишь через отнесение его к бесконечности, то в нем не могут быть различены центр и окружность. Рассуждение Кузанца помогает понять связь между философской категорией единого и космологическим представлением древних о наличии центра мира, а тем самым - о его конечности. Осуществленное им отождествление единого с беспредельным разрушает ту картину космоса, из которой исходили не только Платон и Аристотель, но и Птолемей и Архимед.

 Логика

Один из первых и, безусловно, образцовых парадоксов был записан Эвбулидом греческим поэтом и философом, критянином. Парадокс носит название «Лжец». До нас этот парадокс дошел в таком виде: «Эпименид утверждает, что все критяне лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Лжет ли он или же говорит правду?». Этот парадокс именуется «королем логических парадоксов». Разрешить его до настоящего времени не удалось никому. Суть этого парадокса состоит в том, что когда человек говорит: «Я лгу», он не лжет и не говорит правду, а, точнее, делает одновременно и то и это. Другими словами, если предположить, что человек говорит правду, выходит, что он на самом деле лжет, а если он лжет, значит, раньше он сказал правду об этом. Здесь утверждаются оба противоречащих факта. Само собой, по закону исключенного третьего это невозможно, однако именно поэтому данный парадокс и получил столь высокий «титул». Древнегреческий философ Зенон Элейский известен тем, что составил серию парадоксов о бесконечности так называемые апории Зенона

 Три кризиса в развитии математики

Заслуга Зенона Элейского в развитии философии и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В. И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий. Однако, Зенон последнюю задачу не решил, не решили её и другие ученые древней Греции. 3. Три знаменитых задачи древности В развитии содержания и способов обоснования математики древней Греции выдающуюся роль сыграли три задачи: трисекция угла, удвоение куба (делийская задача) и квадратура круга. Пробуждение особого интереса к этим задачам именно в древней Греции не случайно. При построении математики как дедуктивной системы, базирующейся на геометрическом фундаменте две первые задачи появляются как естественные обобщения более элементарных задач. Задача о квадратуре круга была получена “по наследству” от древних египтян и вавилонян. Трисекция угла. Дан (АВС, требуется разделить его на три равные части.

 Зарождение и создание теории действительного числа

Дело в том, что до открытия несоизмеримости греки находили общую меру при помощи алгоритма Евклида. Но случае несоизмеримых отрезков алгоритм переставал быть конечным. Этот факт побудил греков к рассмотрению бесконечности. Однако понятие бесконечности давалось грекам с трудом и глубоко смущало их. Трудности связанные с понятием бесконечного привели к еще большему кризису в математике и нашли отражение в знаменитых апориях Зенона Элейского. Эти апории(парадоксы) вскрывали противоречия между теми кто считал что материя и время бесконечно делимыи теми, кто считал что существуют первичные неделимые единицы. Приведем самые интересные для затронутой темы парадоксы по . 1. Парадокс «Дихотомия» построенный в предположении, что пространство делимо до бесконечности. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что сначала оно должно дойти до середины отрезка, потом до середины остатка отрезка, потом до четверти отрезка и так далее. Таким образом тело должно пройти бесконечный набор точек. 2. Парадокс «Стрела», построенный в предположении, что время пространство и время состоят из неделимых элементов.

 Парадокс Зенона

Парадокс Зенона Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося. Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно. Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dicho omia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату. Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща.

 Понятие времени и проблема континуума (к истории вопроса)

В отличие от Аристотеля Бергсон не признает никакого бытия как вневременной и неизменной реальности, для него нет ничего, кроме текучей изменчивости – становления. Обращаясь теперь к понятию континуума, мы можем констатировать, что трактовка этого понятия определяется тем, как тот или иной философ, математик или физик решает проблему бытия и становления: устраняет ли он вообще один из этих «полюсов», как это делали элеаты, с одной стороны, и бергсонианцы – с другой, или же стремится найти способ опосредования, установить связь этих «полюсов», как это, собственно, и делает большинство философов и естествоиспытателей, начиная с Аристотеля и кончая Декартом, Ньютоном, Лейбницем, Кантом, Махом, Пуанкаре, Эйнштейном. Разумеется, каждый из названных ученых решает эту задачу по-своему, создавая свою систему понятий, и по-разному ставит проблему континуума. Отметим еще один важный аспект рассматриваемой проблемы, которого мы до сих пор не касались: этот аспект связан с понятием бесконечности и с различением актуальной и потенциальной бесконечностей – различением, с древности и по сегодняшний день определяющим понимание как природы непрерывного вообще, так и сущности времени в частности.   Парадоксы континуума Зенона и решение их Аристотелем  Исторический анализ позволяет по-новому увидеть и глубже понять смысл современных дискуссий, посвященных проблеме континуума и различных его видов.

 Научная революция Галилея - первый шаг к современной науке

Через понятие бесконечно малого, кото- рое не является реальностью ни математической (с точки зре- ния традиционной математики), ни физической, он осуществляет построение физики на основе математики. Но противоречие, с самого начало заложенное в понятие бесконечно малого, с не- избежность воспроизводится на каждом следующем этапе разви- тия галилеевской мысли. Этим объясняется почему Декарт не мог принять многих утверждений Галилея, в частности его те- зиса о переходе падающего тела через все стадии медленности. Лейбниц высказывает в адрес Галилея упрек ещё более серьез- ный, имея в виду уже не частный вопрос: он считает, что Га- лилей не развязал узел парадоксов континуума, а разрубил его. Вопрос соотношения математики и физики также не получил удовлетворительного решения у Галилея, который строил меха- нику как ветвь геометрии. Подобно художнику, овладевшему перспективой, которая всегда влечет за собой зрительную ил- люзию, Галилей наталкивается на то же противоречие, что и художники: он хочет создать науку как объяснение природных феноменов, а в действительности наука превращается у него в описание процессов изменения этих феноменов.

 Зенон Элейский

Этот метод, получивший название диалектического (греч. «диалегомай» – «разговаривать»), впоследствии применял Сократ. Поскольку главными противниками Зенона были пифагорейцы, большинство его парадоксов связано с атомистической концепцией пифагореизма. Поэтому они особенно значимы для современных атомистических теорий числа, пространства, времени и материи. Парадоксы множества Со времен Пифагора время и пространство рассматривались, с математической точки зрения, как составленные из множества точек и моментов. Однако они обладают также свойством, которое легче ощутить, нежели определить, а именно «непрерывностью». С помощью ряда парадоксов Зенон стремился доказать невозможность разделения непрерывности на точки или моменты. Его рассуждение сводится к следующему: предположим, что деление проведено нами до конца. Тогда верно одно из двух: либо мы имеем в остатке наименьшие возможные части или величины, которые неделимы, однако бесконечны по своему количеству, либо деление привело нас к частям, не имеющим величины, т.е. обратившимся в ничто, ибо непрерывность, будучи однородной, должна быть делимой повсюду, а не так, чтобы в одной своей части быть делимой, а в другой – нет.

 Философия. Основные понятия

Главная задача философии - в этике (это плоды науки). Знание - средство приобретения мудрости и умения жить сообразно природе. Счастье - в свободе от страстей, в равнодушии. Все предопределяется судьбой. В понимании природы - материалисты. Отличали истину (воистину существуют только тела) и истинное - бестелесно и не существует. Создали логику высказываний, в отличие от логики предикатов. 3. Учение Демокрита. Понятие "атом" и "пустота" Предпосылкой атомизма (А) была потребность дать матер. Объяснение наблюдаемых свойств вещей - их множества, движения и изменения. После Зенона, доказавшего будто гипотеза о бесконечной делимости вещей, пространства и времени ведет к неустранимым противоречиям и парадоксам, всякая попытка обосновать реальность множества, раздельности вещей и их подвижности должна была считаться с этим. Учение А. явилось ген. попыткой разрешения этих трудностей. А. предполагали сущ. беск. мн-ва телесных частиц, они допускали сущ. пустоты в кот. происх. движ. частиц и отрицали за частицами возм. делиться до бесконечности, видели в них непроницаемые атомы.

 Математические идеи и открытия античных учёных

Без труда удавалось разделить окружность на 3, 4, 5, 15 частей, а также удвоить перечисленные значения. Но семиугольник никому не поддавался. Как оказалось, здесь также получается кубическое уравнение. Полную теорию опубликовал только Гаусс в XIX веке. Второй удар по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), наиболее знамениты четыре (см. список апорий). Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики — конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи. В конце V века до н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель — Демокрит. Он знаменит не только созданием концепции атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл объём пирамиды и конуса, но доказательств своих формул не дал.

 Диалектика как философская концепция развития

Аристотель считает изобретателем диалектики Зенона. Он противопоставил мышление чувственно-воспринимаемому, подметил неустойчивость, текучесть человеческих ощущений и чувственного бытия. Он отводил главную роль в познании мышлению. Зенон впервые попытались выработать понятие единого бытия и сделали его основой философствования. Единое бытие понимается у него как непрерывное, неизменное, нераздельное, одинаково присущее в каждом мельчайшем элементе действительности. Оно исключает любую множественность вещей в их движении. Зенон разработал сорок апорий, направленных против движения и против множественности вещей. Он указал на противоречивость конечного и бесконечного, прерывного и непрерывного. Платон представил диалектику как метод анализа и синтеза понятий. Понятия возникают не как итог обобщения чувственных данных, а в результате вспоминания душой идей, которые она когда-то созерцала в сверхчувственном мире, еще не будучи связанной с человеческим телом. У Платона диалектика не только метод отыскания истины, но и учение о мире истинного бытия как сферы вечных и неизменных идей. В отличие от Платона Аристотель считал, что диалектика имеет дело не с истинным, а с вероятностным знанием.

 Число как основное понятие математики

У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» – 1012, «леодр» – 1024, «ворон» – 1048, «колода» – 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует. В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные , матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

 Логика Космоса (физика античной Греции)

Однако, указывает Аристотель, в каждом месте, проходимом летящей стрелой, она не может покоиться, т.к. это означало бы, что стрела находилась бы в одном и том же месте не мгновение, а промежуток времени. Выход из этой "безвыходной ситуации" заключается в признании того, что движущееся тело всегда движется именно в том месте, которое оно в данный момент времени занимает. Однако просто признать мало, надо еще это понять. Иными словами, апория Зенона ставит вопрос о понятии движения. Заслуга Зенона состояла в том, что он убедительно показал отсутствие у греков понятия мгновенной скорости. В самом деле, если скорость есть отношение пути ко времени его прохождения, то как можно говорить о скорости в данный момент времени, когда ни пути, ни времени его прохождения нет? Даже если брать все более малые промежутки времени и соответствующие им пройденные пути, все равно это конечные, а не бесконечно малые времена и длины. Ведь бесконечно малое это операция ума, а не самое малое, которое можно представить. Пока у нас не будет понятия производной функции (которое появилось через 2000 лет после Зенона), ничего не получится.

 Предмет физики

Взаимодействие отдельных вещей трак- товалось наивно-антропоцентрически ( например, мнение об одушев- ленности магнита у Фалеса ). Подобное рассмотрение проблем, свя- занных с анализом движения как перемещения в пространстве, впер- вые было осуществлено в знаменитых апориях Зенона Элейского. В связи с обсуждением структуры первоначал зарождаются и конкуриру- ют концепции непрерывной делимости до бесконечности ( Анаксагор ) и дискретности существования неделимых элементов ( атомисты ). В этих концепциях закладывается понятийный базис будущей структур- ной физики. В связи с задачами анализа простейшей формы движения ( изме- нения по месту ) возникают попытки уточнения понятий "движение", "покой", "место", "время". Результаты, полученные на этом пути, образуют основу понятийного аппарата будущей физики движения - механики. При сохранении антропоморфных тенденций у атомистов четко намечается понимание взаимодействия как непосредственного столкновения основных первоначал - атомов. Полученные умозритель- ным путем достижения греческой натурфилософии вплоть до XVI в. служили единственными средствами построения картины мира в науке.

 Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Аристотель считал предметом математики “количественную определенность и непрерывность”. В его трактовке “количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых .является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить”. Множеством при этом называется то, “что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные”. Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как “оно относится к категории количества” и проявляется прежде всего в непрерывном. “Что бесконечное существует, уверенность в этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин.; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так как необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего -.на том основании, что мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины”.