Иррациональные уравнения и неравенства

 Энциклопедический словарь

Противоположен рационализму. ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (от лат. irrationalis — неразумный) находящееся за пределами разума, алогическое, неинтеллектуальное, несоизмеримое с рациональным мышлением или противоречащее ему. Противоположность иррациональному — рациональное. ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ алгебраическое выражение, в состав которого входят иррациональные числа. ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала (под корнем). ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО число, не являющееся рациональным, т. е. не могущее быть точно выраженным дробью m/n, где m и n — целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями. ИРРЕГУЛЯРНЫЕ ВОЙСКА (от ср. — век. лат. irregularis — неправильный) войска, не имевшие единой и постоянной организации или отличавшиеся от регулярных войск системой комплектования, прохождения службы и др. В России в 18 — нач. 20 вв. — казачьи войска и др. ИРРЕДЕНТИЗМ (от итал. irredento — неосвобожденный) политическое и общественное движение в Италии в кон. 19 — нач. 20 вв. за присоединение к Италии пограничных земель Австро-Венгрии с итальянским населением — Триеста, Трентино и др

 Задача Лагранжа

Имеем: 3 1677 4 1531 5 1369 = 5031 6124 6845 = 18000. Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена. Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение ( ) вида (36) имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться будет невозможно.

 Большой энциклопедический словарь (Часть 2, ЛЕОНТЬЕВ - ЯЯТИ)

Действие нахождения степени называют возведением (возвышением) в степень. Понятие степень обобщается также на случай произвольного (рационального или иррационального, а также комплексного) показателя. СТЕПЕНЬ ОКИСЛЕНИЯ (окислительное число) - условный показатель, характеризующий заряд атома в соединениях. В молекулах с ионной связью совпадает с зарядом иона, напр. в NaCl степень окисления натрия +1, хлора -1. В ковалентных соединениях за степень окисления принимают заряд, который получил бы атом, если бы все пары электронов, осуществляющие химическую связь, были целиком перенесены к более электроотрицательным атомам, напр. в HCl степень окисления водорода +1, хлора ?1. Понятие степень окисления используется, напр., при составлении уравнений окислительно-восстановительных реакций. СТЕПИН Вячеслав Семенович (р. 1934) - российский философ, академик РАН (1994). Труды по теории познания, философии и истории науки, философской антропологии. СТЕПЛДОН Олаф (1887-1950) - английский писатель. В романах "Последние обитатели Лондона" (1932), "Создатель звезд" (1937) и др. - элементы фантастики, утопические мотивы

 Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

После выполнения преобразований получим: При a > 0 значения х = а и х = 0 не удовлетворяют неравенству, а при всех значениях 0 < x Итак, решение неравенства (1) 1) если а > 0 0 < x 2) если а = 0 нет решений 3) если a < 0 a ( x ( 0Пример 4. Решить неравенство: Решение. Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x ( а, второй при x ( b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее в правой части неравенства. Итак,значит последнее неравенство системы равносильно неравенству: выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля, значит наша система равносильна совокупности двух систем: Видим, что в первой системе может быть два случая: 1) a ( b, 2) b ( a.В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x Ответ: 1) a ( b x < b 2) a ( b x < а 8. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной. Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменной.

 Психотерапия на практике

В психотерапии всегда присутствует элемент иррациональности. Художественная интуиция и сенситивность врача имеют немалое значение. Пациент также вносит иррациональный элемент - свою индивидуальность. Беард, создатель концепции неврастении, однажды заметил: если доктор лечит два случая неврастении одинаковым способом, он, несомненно, будет одного из больных лечить неправильно. Это вызывает вопрос, может ли быть "правильная" психотерапия вообще. Не будет ли правильнее считать, что "правильная" психотерапия практикуется данным психотерапевтом в отношении конкретного пациента? В любом случае психотерапия напоминает уравнение с двумя неизвестными соответственно двум иррациональным факторам. Психоанализ долго считался специфической и каузальной терапией. Но "комплексы" и "травмы", которые он рассматривает в качестве патогенетических факторов, вероятно, универсальны и, следовательно, не могут быть патогенетическими. Тем не менее психоанализ помог немалому числу пациентов, и поэтому должен считаться неспецифической терапией

 Об обучении математике на подготовительных курсах

Поэтому практически во всех разделах функции становятся ведущей идеей курса алгебры и начал анализа. На занятиях полученные в школе на разных этапах обучения теоретические знания функциональной линии должны найти свое применение при выполнении системы упражнений, которая предполагает единообразную структуру повторения функционального материала. Задания выполняются учащимися, последовательно переходя от одного класса функций к другому (рациональные, иррациональные, трасцендентные функции). Типы задач: Построение графиков функций вида: Нахождение интервалов знакопостоянства функции. Решение уравнений и неравенств, с использованием свойств функций. Применение графических приемов решения задач с параметрами. Особое место отводится обратным тригонометрическим функциям, при этом их изучение происходит с использованием той же системы задач. С помощью указанного вида задач систематизируются, обобщаются, углубляются и расширяются знания слушателей. В качестве примера приведем некоторые типы упражнений, используемые при изучении показательной и логарифмической функций. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (неравенству): а) найдите интервалы знакопостоянства функции y=log2log6(x2-3x 2), б) при каких значениях x график функции y=log8(x2-4x 3)-1; y=22x 4-4x-13 расположен не выше оси абсцисс? в) решите неравенство а) решите уравнение б) решите неравенство а) при каких значениях параметра a уравнение f(x)=0 имеет : 1) 2 различных действительных корня; 2) один корень; 3) не имеет действительных корней, если б) решите неравенство Комплексному формированию таких общеучебных умений, как умение планировать свою деятельность, внимательно воспринимать информацию, логически осмысливать условие и результаты, осуществлять самоконтроль и др., способствует процесс решения сюжетных задач.

 Программа вступительных экзаменов по математике в 2004г. (МГУ)

В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают поступающего от необходимости знать эти утверждения. I. Основные понятия Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Целые, рациональные и действительные числа. Проценты. Модуль числа, степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа. Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества. Функция, ее область определения и область значений. Возрастание, убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значения функции. График функции. Линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции. Уравнение, неравенства, система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы. Равносильность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Прямая на плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол. Треугольник. Медиана, биссектриса, высота.

 Уравнения и способы их решения

Решить иррациональное уравнение .             Множество допустимых значений этого уравнения: .             Положив , после подстановки получим уравнение или эквивалентное ему уравнение , которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно . Решая это уравнение, получим ,           . Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений: , .             Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения: ,                  .             Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень .             В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.             П р и м е р 3.

 Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем.

 Элементы учебных математических исследований в начальной школе

Можно ли утверждать, что каждое число этого ряда делится на 5 ?» 4. К задачам, формирующим исследовательские умения, мы отнесли и задания на конструирование математических объектов: новых фигур, уравнений, неравенств, сюжетных задач, схем к сюжетным задачам. В комплекте Н.Б. Истоминой они представлены, например, в следующих видах: Пример 5. ( ; 1 класс). «Придумай выражения, в которых уменьшаемое равно 9, и найди их значения». Пример 6. ( ; 1 класс). « В одном альбоме 48 марок, в другом 37. Поставь вопросы к данному условию. Запиши решение каждой задачи выражением. Вычисли значения этих выражений». Пример 7. ( ; 3 класс). «Составь верные равенства на деление, в которых: а) делитель - двузначное число, а значение частного - трехзначное число; б) делитель - однозначное число, значение частного - трехзначное число; в)делитель- трехзначное число, значение частного - однозначное число». Нами был проведен анализ задачного материала пяти учебников для выявления доли задач второго типа от их общего количества, которая оказалась весьма значительной для учебников ( см. таблицу ). Н.Б. Истомина реализует принцип преемственности между начальной и средней школой в своем учебнике « Математика -5» ( см. приведенную далее таблицу ).

 Економічний аналіз підприємств

Математическое моделирование экономических явлений и процессов является важным инструментом экономического анализа деятельности предприятия. Оно дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутрсеаою структуру и внешние связи. Модель является условным образом объекта исследования и отображает характеристики объекта существенные для цели исследования. В экономическом анализе деятельности предприятия используются главным образом математические модели, описывающие исследуемый объект с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средста. Различают следующие математические модели: • ' модели, количественные характеристики которых, выражены в виде формуя; числовые, Логические, графические, реализованные с помощью ЭВМ. Применение 'математических моделей в экономическом анализе деятельности предприятия требует: • системного подхода к изучению деятельности предприятия, учета •сего множества взаимосвязей между ее различными сторонами; . • совершенствование системы экономической информация о работе предприятия; • влияние технических средств, • разработки комплекса экономико-математических моделей, тараасающих количественную характеристику экономических дроиессов.

 Значение математических приемов статистического исследования в современных условиях

Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы моделирования и системного анализа. Используются главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Моделирование и анализ периодических колебаний экономических показателей имеют большое значение в управлении хозяйственной деятельностью, в частности на предприятиях с сезонным характером производства, в торговле. Для моделирования периодических колебаний применяются методы спектрального и гармонического анализа. Такие исследования позволяют более точно и обоснованно разрабатывать плановые задания, уточнять мероприятия по улучшению организации труда и производства (1, с.115). Значение Математической статистики и ее новых разделов в современных условиях. Приведем краткие описания (типа статей в энциклопедических изданиях) математической статистики и ее наиболее важных для эконометрики сравнительно новых разделов, разработанных в основном после 1970 г., а именно, статистики объектов нечисловой природы и статистики интервальных данных.

 Построение и использование компьютерных моделей

В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и пр. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств. 3 этап - компьютерная модель Описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и пр. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств. Пути построения компьютерной модели Построение алгоритма решения задачи и его кодирование на одном из языков программирования; Построение компьютерной модели с использованием одного из приложений (электронных таблиц, СУБД и пр.) 4 этап – компьютерный эксперимент Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков программирования, её нужно запустить на выполнение и получить результаты. Если компьютерная модель исследуется в приложении, например в электронных таблицах, можно провести сортировку или поиск данных, построить диаграмму или график. 5 этап – анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели В случае различия результатов, полученных при исследовании информационной модели, с измеряемыми параметрами реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки или неточности.

 Иррациональные уравнения

Курсовая работа Иррациональные уравнения Содержание: Введение 1. Основные определения и теоремы 2. Стандартные иррациональные уравнения и методы их решения 2.1 Уравнения вида 2.2. Уравнения вида 2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной 2.4 Уравнения вида , , 3. Нестандартные методы решения иррациональных уравнений 3.1 Применение основных свойств функции 3.1.1 Использование области определения уравнения 3.1.2 Использование области значений функции 3.1.3 Использование монотонности функции 3.1.4 Использование ограниченности функции 3.2 Применение производной 3.2.1 Использование монотонности функции 3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функций 4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения 4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность 4.2 Иррациональные показательные уравнения 4.3 Иррациональные логарифмические уравнения Заключение Литература Введение Тема моей курсовой работы 81}. Заключение Данная курсовая работа помогла мне научиться решать иррациональные уравнения следующих типов: стандартные, нестандартные, показательные, логарифмические, повышенного уровня.

 Решение уравнений с параметрами

К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д. Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение - значит: найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении таких уравнений надо: 1) найти множество всех доступных значений параметров; 2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую; 3) привести подобные слагаемые; 4) решать уравнение ax = b. Возможно три случая. 1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = . 2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все хR. 3. а = 0, b 0. Уравнение 0х = b решений не имеет. Сделаем одно замечание.

 Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств. Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи. При алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков4: Краткая запись условия задачи. Изображение условия задачи с помощью рисунка. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии. Выполнение арифметических действий над величинами (числами). Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз. Нахождение разностного сравнения величин (чисел). Нахождение кратного сравнения величин (чисел). Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа). Нахождение дроби от величины (числа). Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби. Нахождение процентов данной величины (данного числа). Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.

 Иррациональные уравнения

Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные уравнения. Следствия уравнений. При решении уравнений выполняются  различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.    Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.    Например, уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.    Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.    Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и  f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так: f(x)=g(x)         f1(x)=g1(x) В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.    Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

 Экономика предприятия (Украина)

Эта связь выражается через экономико-математическую модель. Экономико-математическая модель представляет собой точное математическое описание экономического процесса, т.е. описание факторов, характеризующих структуру и закономерности изменения данного экономического явления с помощью математических символов и приемов: уравнений, неравенств, таблиц, графиков и т.д. В модель включаются только основные определяющие факторы. При расчете моделей планирования первостепенное значение имеет определение периода исследования. Период исследования должен браться таким, чтобы исходные данные были однородны. При этом следует иметь в виду, что слишком малый период обследования не дает возможности выявить общие закономерности. С другой стороны, нельзя брать слишком большой период, так как любые экономические закономерности непостоянны и могут существенно изменяться в течение длительного времени. При существенных изменениях условий работы предприятия в плановом периоде в рассчитанные на основе экономико-математических моделей показатели, вносятся необходимые коррективы.