Элементы математической логики

 Новая философская энциклопедия. Том первый

Метод упрощения форм выражения функций истинности. - «Философские науки», 1958, № 2; Кузнецов А. В. Алгоритмы как операции в алгебраических системах. - «Успехи математических наук», 1958, т. 13, в. 3; Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Биркгоф Г. Теория решеток. М., 1952; Владимиров Д. А. Булевы алгебры. 1969; Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М., 1972; Кудрявцев В. Б. О функциональных системах. М., 1981; Яблонский С. В., Гаврилов Г. #., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М., 1966; Фридлендер Б. #., Ревякин А. М. Булева алгебра и ее применение в задачах электроники: учебное пособие. М., 1993; Algebraic logic and the methodology of applying it.—CSU Publications, 1995; Anderka H., Nemeti L, Sain L Algebraic Logic— Handbook of philosophical logic (2 ed.), forthcoming; Blok W. /., Pigozzi D. Algebraizable logics (monograph).—Memoirs of the American Mathematical Society, 1989, № 396; Font J. M., Jansana R. A general algebraic semantics for sentential logics. В., 1996; Handbook of Boolean algebras, Ed. J. D. Monk with the coop. R. Bennet, v. I—Ш. Amst., 1989; Nemeti I, Anderka H

 Математический факультатив как ведущая форма профессиональной дифференциации в преподавании математики в средней школе

Это способствует формированию диалектико-материалистического мировоззрения и научного мышления учащихся. Как показывает опыт работы в школе, имеется много возможностей использования историко-математического материала на факультативных занятиях. Элементы математической логики, приемы вычислительной математики и др., вообщем все разделы факультативного курса – можно и полезно изучать с привлечением историко-математического материала (приложение). Подобно принципу использования историко-математического материала “сквозной” характер имеет и принцип занимательности в организации факультативных занятий по математике. Широкое понимание термина “занимательность” идет еще от Н.И. Лобачевского, Лобачевский, считал что занимательность – необходимое условие, средство возбуждать и поддерживать внимание, без нее преподавание не бывает успешным. Интерес учащихся к изучению математики, базируясь на занимательности (в узком смысле слова), должен поддерживаться и другими средствами: привлечением историко-математического материала (для показа прошлого и настоящего науки, а также перспектив ее будущего развития), решением жизненных задач, связью с потребностями, выдвигаемыми практической деятельностью человека.

 Диалоги (июнь 2003 г.)

Но для математики, для науки, стремящейся к точности, это достоинство естественного языка является недостатком. Поэтому другая вещь, которая была нужна, это создание достаточно богатых формальных языков. Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия. Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни

 Дидактические функции проверки и учета знаний и умений, учащихся по физике

Компьютеры используются как «генераторы задач» по физике, для изучения лексики английского языка в III u IV классах, для изучения грамматики в V классе, элементов математической логики в IX. Результативность компьютерного обучения по различным учебным дисциплинам существенно зависит от уровня компьютерной грамотности обучаемых. Поэтому сам факт введения массового компьютерного всеобуча создает благоприятные предпосылки и для повышения эффективности компьютерного обучения. Основное требование к составляемым обучающим программам — их ориентация на развитие активности, инициативы, творчества учащихся. Характерны в этом отношении экспериментальные уроки физики в школе с применением ЗВМ, проводимые заслуженным учителем школы РСФСР С. И. Литератом по программам, разработанным в школьном вычислительном центре. Один из наиболее эффективных приемов — использование ЭВМ в игровых задачах, например по атомной физике. Оценивая психолого-педагогические возможности компьютеризации учебного процесса, С. И. Литерат указывает следующие основные направления: использование ЭВМ для тренировки и закрепления знаний ускорение расчетов при решении задач в лабораторных работах и т. д. (преимущественно в старших классах); проверка знаний, умений и навыков, учащихся во время контрольных работ и опросов; индивидуальная работа учащегося на ПК при выполнении заданий учителя (главным образом на факультативных занятиях); учет результатов обучения и оперативное представление соответствующей информации учителям, администрации, родителям и самим учащимся. По мнению Ю. А. Первина, одного из инициаторов компьютерного обучения в школах г.

 Философия

Философия же, с его точки зрения, есть лишь критика языка. Он исследовал также такие формы научного познания, как наблюдение, объяснение и предсказание.[190] Ведущий представитель логического позитивизма и философии науки Р. Карнап явился одним из авторов семантической философии, которая занималась исследованием системы характеристик, описывающих элементы языка с точки зрения объема понятий – «обозначение», «наименование», «истина»[191]. Он ставит своей целью разработать унифицированный, имеющий единое смысловое содержание язык науки. А такое единое основание, по его мнению, дает математическая логика. Кстати, среди неопозитивистов много математических логиков, которые исследуют различные логико-математические способы соединения слов в предложения. Карнап исследовал семантику, т. е. отношение между языком и описываемой им областью. Философию он рассматривал как собственный анализ языка, связанный с чувственной (опытной) проверкой. Из семантической философии исходит философия общей семантики (С. Чейз, А. Кожибский), устанавливающая связи человеческого поведения с языком, который они считают определяющим

 Практические смыслы педагогической науки

Это учащиеся 10-х, 11-х классов. Считаем, что школу выступлений ребята прошли хорошо. 4. Развитие логического мышления. Учащиеся прошли курс ‘’Основы научных исследований с элементами математической логики’’ . На этих занятиях лицеистам рассказывали о роли эксперимента для проверки гипотеы, о том как интерпритировать цифровые и графические данные эксперимента, оценивать оплученные результаты и делать выводы. А также лицеисты учатся переходить от теории к практике, то есть к ее применению. Решение творческих задач, требующих ответа на вопрос 13стр. ‘’Почему?’’ и ‘’Как это сделать?’’, развивает у учащихся интуицию, формирует воображение и в итоге способствует формированию собственного мнения творческого мышления. Перечисленные выше задачи мы относим ко всем учащимся в обязательном порядке, другая группа задач, решениеикоторых желательно бы точно для всех лицеистов, но как правило такого не бывает никогда. Разделение начинается уже с участия лицейских предметных олипиадах. По уровню знаний учащихся мы определим, кому по силам олимпиада, а кому нет, то ест происходит дифференциация учащихся по знаниям выделяются учащиеся с более высоким уровнем мышления.

 Дидактические функции проверки и учета знаний и умений, учащихся

Компьютеры используются как «генераторы задач» по физике, для изучения лексики английского языка в III u IV классах, для изучения грамматики в V классе, элементов математической логики в IX. Результативность компьютерного обучения по различным учебным дисциплинам существенно зависит от уровня компьютерной грамотности обучаемых. Поэтому сам факт введения массового компьютерного всеобуча создает благоприятные предпосылки и для повышения эффективности компьютерного обучения. Основное требование к составляемым обучающим программам — их ориентация на развитие активности, инициативы, творчества учащихся. Характерны в этом отношении экспериментальные уроки физики в школе с применением ЗВМ, проводимые заслуженным учителем школы РСФСР С. И.  Литератом  по  программам,  разработанным  в  школьном вычислительном центре. Один из наиболее эффективных приемов — использование ЭВМ в игровых задачах, например по атомной физике. Оценивая психолого-педагогические   возможности   компьютеризации учебного процесса, С. И. Литерат указывает следующие основные направления: использование ЭВМ для тренировки и закрепления знаний ускорение расчетов при решении задач в лабораторных работах и т. д.           (преимущественно в старших классах); проверка знаний, умений и навыков, учащихся во время контрольных работ и опросов; индивидуальная работа учащегося на ПК при выполнении заданий учителя (главным образом на факультативных занятиях); учет   результатов   обучения   и   оперативное   представление соответствующей информации учителям, администрации, родителям и самим учащимся. По мнению Ю. А. Первина, одного из инициаторов компьютерного обучения в школах г.

 Кибернетика

Этот автомат с бесконечной памятью получил широкую известность как «машина Тьюринга» (1936 г.). После второй мировой войны Тьюринг разработал первую английскую ЭВМ, занимался вопросами программирования и обучения машин, а в последние годы жизни - математическими вопросами биологии. Исключительное значение для развития кибернетики имели работы американского ученого (венгра по национальности) Джона фон Неймана (1903—1957 гг.) — одного из самых выдающихся и разносторонних ученых нашего века. Он внес фундаментальный вклад в область теории множеств, функционального анализа, квантовой механики, статистической физики, математической логики теории автоматов, вычислительной техники. Благодаря ему получили развитие новые идеи в области этих научных направлений. Д. фон Нейман в середине 40-х годов разработал первую цифровую ЭВМ в США. Он — создатель новой математической науки — теории игр, непосредственно связанной с теоретической кибернетикой. Им разработаны пути построения сколь угодно надежных систем из ненадежных элементов и доказана теорема о способности достаточно сложных автоматов к самовоспроизведению и к синтезу более сложных автоматов.

 Научная контрреволюция в математике

Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Несомненно - знаменитая теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Эта теорема является единственным "легитимным" поводом, который позволяет современным метаматематикам глубокомысленно вещать о существенном различии бесконечных множеств по их мощности, то есть по количеству содержащихся в них элементов (а всем остальным, реально "практикующим" математикам - покорно внимать и не менее глубокомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего лишь одну эту теорему Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика потеряет всякую привлекательность даже для своих собственных, самых "отпетых" приверженцев. Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы. Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году уже почти позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня.

 Формирование логико-информационных и речевых коммуникативных умений студента в процессе изучения математики

Часто возникают затруднения с поиском доступных форм передачи смысла сформулированных теорем и т.д. Язык повседневного общения (естественный язык) не всегда бывает точен, иногда допускает какие-то недосказанности, умолчания, которые, в принципе, вызывают затруднения в осмыслении получаемой студентом информации. Использование искусственного языка, в роли которого могут выступать математические обозначения, символика математической логики или графические иллюстрации, помогает избежать многие ошибки. Например, утверждение: “Корни уравнения являются корнями уравнения , в действительности, предполагает наличие не одной, а трёх возможных истинных ситуаций: первое уравнение имеет корни и они являются корнями второго уравнения; первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет корни; первое и второе уравнения не имеют корней. В сущности, формулировка почти всякой теоремы, обратное утверждение к которой не является теоремой, в вербальном представлении несёт элемент "недосказанности", допускающий разные исходы.

 Закат естественнонаучного материализма и христианское мировоззрение

Весьма примечательно, что о таком созерцательном элементе в математике заговорила в последнее время и математическая логика, показавшая несводимость движущей силы математического творчества к рациональному началу. Несомненное наличие логосной основы под психическим должно обуславливать, очевидно, и характерные особенности индивидуального сознания человека. Вполне логично предположить, что психика человека, "опираясь на всеобщее логосное основание тварного мира, должна обнаруживать следующие характерные особенности: во-первых - наличие специфических целостных свойств, не сводимых к более элементарному уровню /по аналогии с тем, что присуще биологическим объектам/; во-вторых - относительную независимость в своем целостном облике от материальных процессов мозга. Что может сказать по этому поводу современная психология? На основании эмпирических данных своей науки психологи делают следующий вывод: "как организм, разложенный на составные элементы, обнаруживает свой состав, но не обнаруживает специфически органических свойств и закономерностей, так и сложные, целостные психологические образования теряли свое основное качество, переставали быть самими собой при сведении их к процессам более элементарного порядка".8 Если бы возможность сведения высшего к низшему в психике существовала, то это могло бы быть серьезным аргументом в пользу материалистическом взгляда на природу сознания, так как низшие психические функции и рефлексы уже довольно жестко связаны с физиологией мозга.

 Подготовка бакалавров и магистров в области ИТ

Поэтому все элементы учебных программ должны быть взаимоувязаны в целостную систему, обеспечивающую синергетический эффект в процессе подготовки ИТ-профессионалов. В стандарте бакалавра по направлению "Прикладная математика и информатика" можно идентифицировать следующие несоответствия целям обучения профессии ИТ: завышенный объем часов по классической математике при недостаточной математической подготовке по дискретной математике, математической логике и теории алгоритмов, прикладной теории вероятности; несбалансированность объемов часов по математике (2244 часа) и по программированию (510 часов), а также малая степень корреляции математических дисциплин с научной базой области ИТ; отсутствие в типовой образовательной программе стандарта бакалавра ряда дисциплин по ИТ и программированию, формирующих профиль выпускника как профессионала в области ИТ (за исключением двух разделов дисциплин: языки программирования и методы трансляции, базы данных и экспертные системы, все профильные по информатике дисциплины представлены в стандарте общим разделом "Специальные дисциплины"); отдельные несоответствия содержательной части курсов по специальным дисциплинам, программы которых хотя и разработаны на высоком научно-дидактическом уровне, требуют обновления; отсутствие в учебной программе данного стандарта курсов и тем по ряду актуальных направлений таких, как, например, программная инженерия, Web-технологии, информационная безопасность, сетевое управление, анализ производительности и др.; отсутствие в типовой образовательной программе бакалавра данного стандарта профессиональной практики/стажировки, без прохождения которой подготовка выпускника не может считаться полноценной.

 Математическая логика в младших классах

Содержание.Введение. Глава I. Исторические и психолого-педагогические основы темы «Математические слова и предложения. Развитие логического мышление при изучение элементов алгебры и математической логики.» § 1. История возникновения математической логики и алгебры. § 2. Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях. § 3. Анализ заданий школьного учебника второго класса. Система дополнительных упражнений на развитие логического мышления учащихся. Глава II. Методика изучения элементов алгебры и математической логики. § 1. Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений. § 2. Различные трактовки введения понятий алгебры и математической логики. § 3. Разработка конспектов уроков по теме. § 4. Материал для внеклассной работы. § 5. Эксперимент. Заключение. Литература. Введение Наука алгебры и алмукабалы – это наука о правилах, По которым узнают числовые неизвестные по соответствующим им известным. Ал-Каши. В последние годы в связи с дифференциацией обучения, появлением школ различной профильной направленности, в том числе гуманитарных, технических, экономических, естественно-математических и других по-новому встают вопросы о целях, содержании формах и методах обучения математике в школе, о месте и роле каждого школьного предмета.

 Шпаргалки по психологии

Модели могут быть техническими, логическими, математическими, кибернетическими. Математическая модель представляет собой выражение или формулу, включающую переменные и отношения между ними, воспроизводящие элементы и отношения в изучаемом явлении. Техническое моделирование предполагает создание прибора или устройства, по своему действию напоминающего то, что подлежит изучению. Кибернетическое моделирование основано на использовании в качестве элементов модели понятий из области информатики и кибернетики. Логическое моделирование основано на идеях и символике, применяемой в математической логике. МОТИВ И МОТИВАЦИЯ В поведении человека есть две функционально взаимосвязанные стороны: побудительная и регуляционная. Вторую мы уже в основном рассмотрели в предыдущих главах, а теперь обратимся к первой. Побуждение обеспечивает активизацию и направленность поведения, а регуляция отвечает за то, как оно складывается от начала и до конца в конкретной ситуации. Рассмотренные нами психические процессы, явления и состояния: ощущения, восприятие, память, воображение, внимание, мышление, способности, темперамент, характер, эмоции — все это обеспечивает в основном регуляцию поведения.

 Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Мы поддерживаем идею А. Энгеля пронизывать элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Мы полагаем, что школьник, занимавшийся ею в достаточно раннем возрасте, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности “математизацию” в старших классах. Точно также ему пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших были введены некоторые элементы предмета на описательном уровне. Учитывая требования к современному обучению и возможности 6—10 летних детей, школьная программа предусматривает сформировать у учащихся элементы математических понятий и логической структуры мышления. Это требуется от учителя, но, к сожалению, многие из них игнорируют программу. Но даже если учитель программу не игнорирует, то он до конца не понимает как преподавать элементы раздела математики, который называется математическая логика, как включать в систему обучения элементы теории вероятностей и статистики.

 Физика и философия

Язык и реальность в современной физике. Средством обмена информацией является язык. Кроме передачи информации язык служит необходимым условием всякого мышления, возможности делать выводы. Наука требует специального языка, который бы оперировал с понятиями данной области деятельности. Первый шаг к созданию научного языка был сделан Аристотелем, создавшим логику – ничто иное, как точный язык. Данный язык, в отличие от обыденного, не содержит эмоциональных и других, не относящихся к науке, элементов. Математический язык стал основным языком не только естественных наук, но и некоторых гуманитарных. Данный язык внутренне непротиворечив и позволяет делать выводы, которые невозможно было бы сделать на обычном бытовом языке. Как математически доказать справедливость квантовой теории и теории относительности? Математические формулы квантовой теории и теории относительности переходят к классическим при условиях, что скорость движения тела много меньше скорости света, а так же при переходе с микроуровня на макроуровень.

 С чем идет современная логика в XXI век?

Мы можем даже не знать других свойств выделенного множества. Но раз понятие "множество" используется как свойство, то отождествление его с сущностями ("элементами"), характеризующимися этим свойством, сразу же приводит к двусмысленности. К сожалению, такая терминологическая чехарда в современных теоретических рассуждениях по основаниям математики и математической логики встречается весьма часто. Еще в начале нашего века А. Пуанкаре отметил, что в чрезмерной формализации математики, которой увлеклись многие приверженцы научной школы Д. Гильберта, часто содержатся "скрытые" определения и двусмысленности . Тогда они лишь намечались и можно только восхищаться прозорливости Пуанкаре. Но сейчас они проявились в полной мере, и свидетельствуют о "скрытой диверсии" в логике и в основаниях математики. Вместе с тем, если такая "диверсия" допускается для основополагающих понятий математики, то она оказывается объектом для подражания применительно ко многим частным логическим и математическим понятиям. И подобные "диверсии" (или мемы) размножаются в разных областях знаний, если не в геометрической, то, по крайней мере, в арифметической прогрессии.

 Решение проблемы механизации садоводства и виноградарства

Разработка методологии оптимизации управления функционированием и развитием механизированных технологий многолетних насаждений Разработка методики подбора критериев оптимизации Известно из теории «Системы отображения информации» (СОИ, В.Ф.Венда, 1975), что анализ причин события требует достаточного массива информации. По аналогии нами установлено, что процессы, протекающие в технологиях растениеводства, могут быть отображены информацией о культуре, средствах производства, продукте и воздействиях, направленных на поддержание их в заданных параметрах через мнемомодель (рис. 6). Рис.6. Модель интенсивной технологии продукта растениеводства С позиций математической логики функция этой модели может быть вычислима, если моделируемый процесс отождествлён с множеством и полностью определяется своими элементами. Поэтому в разработке методики задача сводилась к доказательству того, что технология интенсивного производства плодов и винограда является тоже множеством. Для этого был использован постулат о том, что «нет других множеств, кроме построенных на одном из шагов». Процедурно набор информации для расчёта технологий многолетних насаждений осуществлялся методом «понятия бесконечного дерева», набрав её из изоморфных копий трёхэлементных деревьев «шаг» за «шагом» (рис. 7). Рис. 7. Изображение интенсивных технологий многолетних насаждений «понятием бесконечного дерева». Изображение (рис. 7) означает упорядоченное усреднённое множество, названное «полным бинарным деревом» , (3) где - конечное число «шагов» множества; - символ, указывающий на то, что усреднённого множества может быть использован не полностью.