Интерпретации существования в математике

 Онтология математического дискурса

Такая конструктивная деятельность сводится к созданию единой структуры - именно так понятый математический объект может рассматриваться как существующий. Единая структура, с другой стороны, развертывается согласно закону, правилу, устанавливаемому для ряда "вещей" или восприятий. По-видимому трудно интерпретировать это правило иначе, как действие способности суждения, как установление обобщающей гипотезы для совокупности установленных ранее фактов.   4 Интерпретация существования в философии математики Гильберта Понимание существования математического предмета в рамках формального направления в математике представляется, на первый взгляд, совершенно противоположным интуиционистскому. В книге Френкеля и Бар-Хиллела ([55], c. 322), утверждается, что Гильберт скорее всего солидаризировался бы в этом вопросе с Пуанкаре, отождествляя существование со свободой от противоречия. Следующий пассаж из работы Гильберта "О понятии числа" уточняет и подтверждает эту точку зрения. "В доказательстве непротиворечивости установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство существования совокупности действительных чисел или - употребляя выражение Кантора - доказательство того, что система действительных чисел является 'консистентным' (готовым) множеством..." И далее: "...под множеством действительных чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее - как это было изложено выше - систему вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом." ([15], c. 320)

 Онтология математического дискурса

Во втором - речь идет об общей структуре, объединяющей множество различных элементов. Причем свойства этих элементов не играют особой роли. Важно прежде всего то, что они отличны друг от друга, а единая логическая форма определяет структуру их отношений.(См. примечание 3)При таком подходе к рассуждению его предмет мыслится существующим постольку, поскольку оказывается определенным его место в заданной структуре. Он должен быть выведен из общей логической формы, т.е. заново произведен рассуждением как ее особенный элемент. Из сказанного ясно, что "структурный" подход к процедуре образования понятий, равно как и соответствующая ему интерпретация существования, возможны лишь в рамках трансцендентальной философии. Производящая объекты структура - это структура, внутренне присущая дискурсу, т.е. - в терминологии Шеллинга - принцип действия субъекта. Все "объективное", "природное", "внешнее" определяется через него и из него дедуцируется. Собственно категории "объект" и "природа" также оказываются особыми структурами дискурса, а понятия "внутреннего" и "внешнего" вовсе теряют смысл. (См. примечание 4) Противопоставление категорий сущности и структуры при исследовании природы и онтологического статуса математических объектов является главной методологической посылкой нашего исследования.

 Онтология математического дискурса

Утешение Философией и другие трактаты. Москва, "Наука", 1990, с.5-144 10. Бурбаки Н. Архитектура математики //Бурбаки Н. Очерки поистории математики. Москва, "Издательство иностранной литературы", 1963, с. 245-259 11. Вейль Г. Математическое мышление. Москва, "Наука", 1989. 12. Гедель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с.299-305 13. Гейтинг А. Интуиционизм. Москва, "Мир", 1965. 14. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с. 77-153 15. Гильберт Д. О понятии числа //Основания геометрии. Москва, 1948, с.320-322 16. Гильберт Д. Об основаниях логики и арифметики //Основания геометрии. Москва, 1948, с.322-337 17. Гильберт Д. О бесконечном //Основания геометрии. Москва, 1948, с.338-352 18. Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. Москва, "Наука", 1979 19. Гутнер Г.Б. Интерпретация существования в математике //Философские исследования, N 1, 1995, с.212-225 20. Гутнер Г.Б

 Материализм Демокрита

ДЕМОКРИТ Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались противоречия, выявленные Зеноном? Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности; бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

 Философия

Его совершенство в том и состоит, что классическое как бы само себя истолковывает, задает способ собственного понимания. Следовательно, классическое не только недостижимо; оно сопротивляется отождествлению с иными, поздними его интерпретациями. Классическое в нашей жизни - это ощущение законченности, наличия всей полноты смысла, к нему нельзя ничего "добавить" , приблизить к реалиям современной жизни, оно как бы ведет самостоятельное, не нуждающее в наших дополнениях-интерпретациях существование, оно живет "само по себе". Заключая в себе свою собственную интерпретацию, оно возводит барьер между собой и всяким, кто на него посягает: "...в классическом, - пишет Гадамер, получает свое высшее выражение всеобщий характер исторического бытия" [1]. 1 Гадамер Х.-Г. Истина и метод. М., 1988. С. 343. Все используемые Гадамером категории - "понимание", "дистанция", "традиция" - есть не категории чисто познавательные; сама герменевтика в истолковании Гадамера выходит далеко за рамки традиционного понимания ее как деятельности по истолкованию текста

 Господствующие стили математического мышления

Из сравнения и будет видно - чей стиль более содержателен, чей более формален, более непрерывен или более дискретен. Сравним И.Ньютона и Г.Лейбница. Области их интересов в математике во многом сходны - это начала дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, аналитическая геометрия. Но постановка проблем, формулировка задач, подходы к их решению, методы решения, философия и особенности мышления - различны и нередко противоположны. Ньютон во всем основателен, фундаментален, требователен к себе - вследствие этого медлителен. Лейбниц гораздо более разбросан и тороплив. Получив результат, спешит опубликовать. Англичанин эмпиричен, строит приборы, проводит тщательную проверку выводов, стремится избегать гипотез, не обоснованных опытом ("hypo esis o fi go"). Немец - сторонник чистого умозрения, теоретик, не слишком затрудняющий себя обоснованием многочисленных идей (догадок, обобщений, аналогий), непрерывно выдвигаемых им. Ньютон идет от конкретного к абстрактному - от фактов к законам и теории в целом, математика для него - лишь часть естествознания. Лейбниц обычно мыслит от общего к частному, от абстрактного к конкретному - от философской схемы монадологии к ее интерпретации в математике - идеям дифференциала и интеграла.

 О взаимосвязи философии и математики

Конкретной формой проявления этого процесса было возникновение косвенного доказательства («от противного»), характерной чертой которого является доказательство не самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким образом, был сделан шаг к становлению математики как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ее аксиоматического построения. Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения качественно новой формы обоснования математических знаний. ДЕМОКРИТ Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались противоречия, выявленные Зеноном ? Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что «мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке»14.

 Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Хотя эта идеализация и может оказаться слишком большим упрощением действительности, она на порядок увеличивает глубину нашего математического описания природы. Исследования Мандельброта получили широкую известность после открытия им в 1980 году множества, носящего теперь его имя. Он обнаружил принцип, с помощью которого несколько неожиданным путем образуется целый мир самоподобных структур. Эта причудливая форма (см. рис.1) может оказаться одним из ключевых элементов некоторой новой “натуральной” математики, так же, как прямая линия является одним из основных элементов евклидовой геометрии. Возможно, наиболее убедительный аргумент в пользу изучения фракталов - это их бросающаяся в глаза красота. Глава 2 МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно обшее - это конкуренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей, которые примыкают к границе.

 Влияние математики на философию и логику

Но если мы выбрали определенную логику, то ее термины, операции и правила вывода должны пониматься всегда одинаково, независимо от интерпретации других математических терминов. Во-вторых, понятие множества в прежнем, канторов-ском, смысле, как мы видели, оказалось затронутым парадоксами. Поэтому в настоящее время оно уточняется с помощью различных аксиоматических систем. Эти системы часто исходят из разных задач и оказываются взаимно несовместимыми. К тому же результаты Гёделя и П. Коэна свидетельствуют о возможности существования несовместимых друг с другом теорий множеств в рамках одной и той же аксиоматизации. Если мы согласимся включить такие несовместимые друг с другом аксиоматические теории множеств в состав логики, тогда последняя превратится в весьма запутанную и внутренне противоречивую науку. В-третьих, против включения теории множеств и тем более всей чистой математики в состав логики свидетельствует и тот факт, что некоторые основные арифметические и теоретико-множественные понятия используются, хотя и неявно, уже в самом процессе построения формально-логических систем, которые впоследствии применяются для дедукции математики из логики.

 Математика как языковая игра

Этот факт делает данный метод применимым и при анализе как других областей научного знания, так и при анализе других практических сфер человеческой деятельности в силу того, что основой всех видов деятельности является деятельность коммуникативная. Рассмотрим еще один вывод, к которому пришел Витгенштейн при анализе математического знания. Он отказывает математике (математике, как универсальному языковому средству науки) в познавательной способности вообще, в силу того, что будучи языковой игрой та не способна на познавательную деятельность в общепринятом смысле (поскольку, по мнению Витгенштейна, математик не открывает, но изобретает). Но при этом возникает естественный вопрос о том, как в таком случае возможно развитие математики вообще. По мнению Витгенштейна, среди форм существования математического знания наличествуют определенные ресурсы, позволяющие его расширять. Одной из таких форм является математическое доказательство, на данную интерпретацию которого обратил внимание и А.Ф. Грязнов. Вот как он об этом пишет : «самое важное, на взгляд Витгенштейна, в том, как именно доказательство конструирует то или иное математическое предложение.

 Рассмотрение онтологического статуса предметов математики в некоторых философских системах

Познание вещей, так, как они действительно существуют, есть понимание тех воздействий, которые Бог оказывает на человека. Следовательно, истинное естественнонаучное и математическое знание ведет, в конечном счете, к установлению подлинно благих правил и норм взаимодействия "разумных агентов". Онтологический статус предметов математики определяется поэтому не их объективной, но их интерсубъективной (См. примечание 5) значимостью. Первоначальная посылка Беркли - "Существовать, значит быть воспринимаемым" - может быть, по нашему мнению, прочитана так: "Существовать, значит способствовать правильному общению разумных существ." 3 Математическое существование в философии Канта. Предварительное рассмотрение В интерпретации Беркли субстанция не есть идея, а потому не может быть предметом познания. Иными словами, субстанция - только субъект, но не объект знания. Осмысление проблемы в субъект-объектной терминологии в полной мере осуществлено Кантом, который, отчасти, вернул слову "субстанция" аристотелевский смысл. То, что Декарт и Беркли (а также и другие философы Нового времени) называли мыслящей субстанцией, Кант назвал субъектом, подробно рассмотрев его логическую структуру.

 Структура исторических знаний

Суд над историей // Рубеж. 1991. № 1. С.9). Специфичны связи, которые являются основанием для достижения целей и познания предмета того или иного типа исторического знания. То, что для историологии является связью причин и следствий, для историософии предстает как связь средств и целей, так как последняя ориентирована на только на теоретическое отношение к истории, но и на практическое (Он же. Философия, история и теория прогресса // Указ. Изд. С.213). Историография же исследует единичные уникальные связи судьбы исторической индивидуальности с условиями ее существования и развития. Достаточно оригинальным является представление Кареева о методах историографии и историологии, вытекающих из определения цели и предмета знания. Метод историографии, во-первых, отличается от методов естествознания и математики. Метод математики, имеющий дело с количественными и пространственными характеристиками, – абстрактно-дедуктивный, метод естествознания – наблюдение и эксперимент, предметом которых являются реальные вещи. Однако, предмет историографии – исторический факт, который не является вещью, так как не дан в опыте, но лишь зафиксирован в источнике (Он же. Историка. С.80-84). Соответственно, метод историографии связан прежде всего с критикой и интерпретацией источников.

 Будущее человечества и прогресс генетики

На всем протяжении существования психогенетики как науки исследователи проявляли особый интерес к природе так называемых неадаптивных форм развития (дизонтогенеза). Спектр исследуемых фенотипов простирался от тяжелых, редко встречающихся расстройств: например, аутизм и детская шизофрения, до часто встречающихся типов поведения, незначительно отклоняющихся от нормы: например, специфическая неспособность к математике. Современная статистика, собранная Всемирной Организацией Здоровья, свидетельствует о том, что каждый десятый ребенок, проживающий в развитых странах, подвержен риску девиантного модуса развития. Результаты психогенетических исследований, проведенные разными методами, говорят о существовании первичной, «исходной», индивидуальности, задаваемой нашей наследственностью. Уникальность генотипа каждого человека, высокая индивидуализированность многих психологически значимых средовых факторов, ковариация и взаимодействие одного и другого – вот те силы, которые формируют бесконечное многообразие людей. Необходимо помнить, что психогенетические данные говорят о причинах именно различий между людьми, то есть о происхождении популяционной изменчивости (межиндивидуальной вариативности), и ее выводы не могут быть перенесены на оценки индивидуально- психологических особенностей конкретного человека.

 Политические и правовые учения Древней Греции

Остановимся подробнее на каждом из этих периодов. На ранней стадии своего развития воззрения древних народов на мир носят мифологический характер. В эти времена политические и правовые взгляды ещё не выделились в самостоятельную область и представляют собой составную часть целостного мифологического мировоззрения. В мифе господствует представление о божественном происхождении существующих отношений власти и порядка. Право и закон ещё не выделились в особую сферу норм и существуют в виде аспекта религиозно одобряемого порядка частной, общественной и государственной жизни. В законах этого времени тесно переплетены мифологические, религиозные, нравственные, социально- политические моменты, и законодательство в целом возводится к божественному первоисточнику. Законы приписываются или прямо богам, или их ставленникам - правителям. Политические и правовые учения появляются лишь в ходе довольно длительного существования раннеклассовых обществ и государств. Древние мифы теряют свой сакральный характер и начинают подвергаться этической и политико-правовой интерпретации. Особенно это проявляется в поэмах Гомера и Гесиода.

 Культура барокко

При формальном сохранении традиционно-христианской интерпретации «великой цепи бытия» в центре мироздания гуманистов истинно творческим началом бытия оказывался не бог, а человек. В этой замене традиционного теоцентризма антропоцентризмом сошлись и пересеклись все линии гуманистического учения о человеке. В этой связи следует указать на три специфические черты этого учения: 1) «реабилитация» природы, а вместе с ней и через нее природы самого человека, что в итоге привело у обожествлению природы и признанию человека гармоническим единством телесного и духовного начал; 2) выдвижение на первый план личного и деятельного основания категорий «достоинство» и «добродетель»; 3) радостное мировосприятие, требование полноты жизни — всеми чувствами, всеми способностями, гармония разума и страстей. И как бы в противовес столетиями до этого звучавшему мотиву о «жалких условиях человеческого существования», «о презрении к миру» гуманисты настойчиво подчеркивали прямо противоположную идею — о красоте и гармонии мира, о достоинстве человека, не родовом и сословном, а сугубо личном, т. е. потенциально идею о равной важности каждого индивидуального существования.

 Солнечные пульсации и человек

Пульсация Солнца варьирует ускорение свободного падения на Земле в районах, близких к экватору, с амплитудой Анализ гравометрических данных и барометрических свидетельствует в пользу существования коррелирующих между собой вариаций силы тяжести и давления с периодом 160 мин. Однако интерпретация природы этих вариаций затрудняется близостью их периода к 9 гармоники солнечных суток. Изменения гравитационного поля вокруг пульсирующих сферы могут быть увязаны с распространением гравитационных волн. Все же просматривается идея осуществления определенной идеи бытия. Какая идея. Чья идея. Кто за не дальше стоит - Бог, свет нашей Лампы ввинчивается в густой полумрак "тех мест". Действительно, интригует нас своими сигналами, теперь Он знает, что они до нас дошли и мы ждем продолжения. Будто эти удары, дисгармонирующие с человеческой природой, именно против нас были нацелены. Земля была голой, пока на ней не появился какой-то неведомый жучок, червячок и видно в свете наших Фонарей, как льется , падает и хлещет, потоки, водопады, и озера, течет, несется, брызжет, потоки бурлящей воды.

 Текст как явление культуры

Началась новая эра культурного прогресса. Круг читателей чрезвычайно расширился. Произошла демократизация письменного общения, оно стало повседневным делом миллионов людей. Возникли условия для массового образования и просвещения народа. Вместе с ним школьное обучение грамоте стало непременным условием функционирования письменной речи, сохранения языковых традиций и непрерывности существования культуры. 2. Тексты и их интерпретация. Как мы уже отмечали, всякое явление культуры есть сочиненный людьми с помощью знаковых систем текст. Текст – это плоть и кровь культуры. Но любой текст – в виде вещи ритуала, художественного произведения, речи и т. д. – представляет собой нечто такое, что подлежит прочтению и пониманию. Как только это будет сделано, сразу встает вопрос: правильно ли текст прочитан и понят? Таким образом, каждый раз нам приходится, сталкиваясь с каким-либо культурным явлением, решать две задачи: как его понять и как проверить правильность его понимания. Но необходимо сказать, что однозначного решения эти задачи не имеют. Ко всякому тексту как произведению культуры можно подойти двояко. С одной стороны, текст можно рассматривать как «вместилище информации», которая должна быть от туда извлечена.

 Функционально – прагматические аспекты фразеологических интенсификаторов в современном английском языке

Вместе с тем, каждый значимый дискурс – это не просто набор пропозиций, но их упорядоченная последовательность, где существуют “конвенциональные ограничения на возможный порядок пропозиций” (Dijk 1985: 107 – 108). Это означает, в частности, что семантика предложения в дискурсе описывается с учетом структур и интерпретации соседствующих, обычно предшествующих предложений того же текста. Таким образом, основное правило семантической когерентности состоит в том, что “предложение А связано с предложением В, если А относится к ситуации или событию, которое является возможным (вероятным, необходимым) условием существования ситуации или события, к которму относится В (или наоборот)” (ван Дейк 1989: 127). Важное значение данного правила для настоящего исследования состоит в осознании того факта, что предыдущие предложения могут предоставить дополнительную, а иногда и критически важную информацию для интерпретации предложений дискурса. Семантическая когерентность дискурса не может получить полного объяснения только в терминах локальных связей между пропозициями. Для установления некоторой формы глобальной организации дискурса и контроля необходимы значения более высокого уровня.