Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

 Прозрачные звёзды. Абсурдные диалоги

Другой порок неблагодарность. Мы пустили в обиход подлейшую поговорку: ни одно доброе дело не остается безнаказанным. PВы один из безумцев, о которых сказано: если к правде святой мир дорогу найти не сумеет, честь безумцу, который навеет человечеству сон золотой А кроме этого главного сна о жизни, который Вы видите постоянно, есть ли сны, другие навязчивые? PО да, это очень точный вопрос. Есть навязчивые сны. Я многое пережил в своей жизни. Сын врага народа, обыски и допросы, арест дяди, доносы, война, но не это мне снится. Странно, но мне снится, что я должен решить задачу по геометрии с применением тригонометрии. И я знаю, что этого не будет никогда. PЯ надеюсь, что у Вас появился иммунитет против моих каверзных вопросов. Позвольте опять коварство? PЧто с Вами поделаешь. Но я и сам боюсь обидчивых людей. Обидчивость одно из самых тягостных качеств людей. Я почти никогда не обижаюсь. Когда речь идет о наветах, я вспоминаю 37 год, когда наветы на долгие годы решили участь моей семьи. И тогда я испытываю не отвращение ужас

 Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadra ura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.) Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 – 212 до н.э.). С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда Его остроумные и глубокие идеи, связанные с вычислением площадей и объёмов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя.

 Большая Советская Энциклопедия (ГЕ)

В 1806 основал чешский политехникум в Праге. В основном труде «Руководство по механике» (1831—34) оригинально решены некоторые практические задачи механики (уравнение натяжения пролётной цепи висячего моста, формула сопротивления повозки на податливом грунте и др.). В 1793 Г. впервые применил в сконструированной им подъёмной машине для одного из рудников в Богемии конический барабан (у которого вращающий момент на оси остаётся постоянным в продолжение всего подъёма). В 1807 выдвинул предложение о постройке конно-железной дороги Ческе-Будеёвице — Линц. Гертвиг Оскар Ге'ртвиг, Хертвиг (Hertwig) Оскар (21.4.1849, Фридберг, — 25.10.1922, Берлин), немецкий биолог. Основатель и директор анатомического института Берлинского университета (1888—1921). Основные труды в области морфологии беспозвоночных, цитологии и эмбриологии. Исследовал развитие половых клеток (установил единую схему созревания яиц и сперматозоидов) и явление оплодотворения. совместно с братом Рихардом Г. изучил происхождение и судьбу среднего зародышевого листка в эмбриональном развитии и выдвинул теорию происхождения целома — вторичной полости тела. Г. — один из пионеров применения экспериментального метода в эмбриологии

 Подготовка, переподготовка и повышение квалификации рабочих кадров

Причём здесь при удачном сочетании теории и практики вырабатываются способность приспосабливать знания и навыки к требованиям производства, привычка хорошо работать и ощущать себя мастером. Нам представляется, что применение двойной системы обучения было бы целесообразным на Гомельском станкостроительном заводе им. С. М. Кирова, так как она не требует больших материальных затрат, что имеет немаловажное значение для данной экономической ситуации на предприятии. Так же при этой системе налаживается тесная связь между школой и предприятием, и выпускники школ будут конкурентоспособными на рынке труда. В зарубежных фирмах внутрифирменное обучение и повышение квалификации рабочих кадров – важнейшая задача служб кадров. Они осуществляют методическое обучение этой работы, непосредственно участвуют в организации обучения, оценке, отборе рабочих кадров, планировании карьеры работников, оказании практической помощи линейным руководителям в работе с подчинёнными. В некоторых службах кадров организуются самостоятельные отделы обучения, которые занимаются производственной подготовкой, обучением инструкторов, мастеров, техников, рабочих, разрабатывают учебные материалы, субсидируют обучение по индивидуальным программам, осуществляют связь с другими учебными центрами.

 Большая Советская Энциклопедия (КР)

Разобьем область D на n частичных областей di, площади которых равны si, выберем в каждой области di точку (xi, hi) (см. рис.) и составим интегральную сумму . Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей di суммы S имеют предел независимо от выбора точек (xi, hi), то этот предел называют двойным интегралом от функции f (x, у) по области D и обозначают . Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n-кратный интеграл.   Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью, а функция f (x, y) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых интегралов. Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу. В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула. К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.   Лит. см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл. Рис. к ст. Кратный интеграл

 Метод математической индукции

Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство: . (6) Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что . (8) Неравенство (8) равносильно неравенству , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо. Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при =k следует его справедливость при =k 1. 5. Метод математической индукции в применение к другим задачам. Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить сторону - угольника, вписанного в круг радиуса R. Решение. При =2 правильный 2 – угольник есть квадрат; его сторона находим, что сторона правильного восьмиугольника , сторона правильного шестнадцатиугольника , сторона правильного тридцатидвухугольника .

 Метод математической индукции

Надо доказать , что тождество справедливо при всех x , кроме x=0, 1, -1. При =1 имеем: , т.е. при =1 тождество выполняется. Предположим , что Итак, тождество верно для любого натурального числа . Метод математической индукции в применение к другим задачам. Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить сторону - угольника, вписанного в круг радиуса R. Решение. При =2 правильный 2 – угольник есть квадрат; его сторона находим, что сторона правильного восьмиугольника , сторона правильного шестнадцатиугольника , сторона правильного тридцатидвухугольника . Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2 – угольника при любом . (1) Допустим, что сторона правильного вписанного - угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения , откуда следует, что формула (1) справедлива при всех . Пример 2. На сколько треугольников -угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями? Решение.

 Решение задач с помощью ортогонального проектирования

Несмотря на то, что в методических рекомендациях по решению экзаменационных задач по геометрии говорится, что для них не требуется сложных рассуждений, преобразований и остроумия, но часто приобретенных навыков в школе не хватает для решения задач на построение и вычислительных задач. Многие из них на сегодняшний день полностью отсутствуют или редко встречаются в учебниках. Это относится в первую очередь к заданиям на применение ортогонального проецирования. Рассмотренный в данном реферате материал позволяет получить более глубокие знания по стереометрии, широкое понимание поставленного вопроса. Особое внимание уделено полноте рассуждения, в котором применялись базовые знания начертательной геометрии. При решении задач активно использовался аппарат ортогонального проектирования. Это осуществляется применением вычислительного способа и способа выносных чертежей. В реферате также присутствует и координатный способ решения. Акцентируется внимание на решении задач по построению прямой, изображений фигур, вычислению расстояний и углов. I. Основные понятия ортогональной проекции. Комплексные чертежи. 1.1. Метод параллельного проецирования.

 Ряды Фурье и их приложения

Функция f(x) называется кусочно- монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, ,х -1 на интервалы (а, х1), (х1, х2), , (х -1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая. Теорема. Если периодическая функция f(x) с периодом 2? – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции f(x), то . Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики. Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181) При выводе формул (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция f(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1).

 Революция в термодинамике

Революция в термодинамике Игорь Иванов В 1988 бразильским ученым Константино Тсаллисом была предпринята очень нетривиальная попытка расширить область применения термодинамики и статистической механики. Шло время, и то, что поначалу казалось лишь неким математическим трюком, вдруг начало находить применение во многих физических задачах. В задачах, которые касались термодинамически аномальных систем. 1. Обычная термодинамика: резюме Прежде, чем знакомиться с термодинамикой Тсаллиса, давайте вспомним главную идею обычной термодинамики. Пусть у нас есть макроскопический "кусок" какого-то вещества, например, капля воды. Нам известны такие его непосредственно измеряемые параметры, как объем, количество вещества и внутренняя энергия. Однако ничего о том, как энергия распределена по объему, мы сказать не можем. В принципе, существует огромное количество возможностей распределить энергию по всему объему. Однако из опыта мы знаем, что практически все системы вокруг нас, если их изолировать от внешнего воздействия, рано или поздно приходят в определенное, вполне конкретное состояние, которое мы называем состоянием равновесия.

 Применение подобия к решению задач

Применение подобия к решению задач Бычек В.И., доцент кафедры геометрии ХГПУ Обучение решению задач является одним из основных элементов математического образования. Вместе с тем – это наиболее трудный вид деятельности и для учеников, и для учителей. В статье рассматривается эффективный метод решения геометрических задач – метод подобия. Освоение этого метода весьма полезно для учителя математики. Рассмотрим применение подобия плоскости, в частности гомотетии, при решении задач элементарной геометрии. Преобразование плоскости называется подобием, если существует такое число k>0, что для любых точек А и В и их образов А1  и В1 выполняется равенство А1В1=kАВ. Число k называется коэффициентом подобия. Преобразование плоскости называется гомотетией с центром М0 и коэффициентом k Нм-2  переводит треугольник А1В1С1 в треугольник А2В2С2. Следовательно, треугольник А1В1С1 равен треугольнику А2В2С2. Список литературы Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 1. – М. : Просвещение, 1986. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. – М. : Просвещение, 1973. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 1. – М. : Просвещение, 1974. Вересова Е.Е., Денисова Н.С. Сборник задач по геометрическим преобразованиям. – М. : МГПИ им. В.И. Ленина, 1978.

 Билеты по физике

Чтобы сила тока равной определенному значению, источник тока должен совершить работу против сил вихревого поля. Эта работа и идет на увеличение энергии магнитного поля тока. При размыкании электрической цепи ток исчезает, и вихревое поле совершает положительную работу. Выделяется запасенная током энергия. Это обнаруживаетя по мощьной искре, возникающей при размыкании цепи с большой индуктивностью. По онологии с кинетической энергией, энергия магнитного поля тока равна: W=LI^2/2. Билет 6 1. 1. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Вычислите потенциальную энергию тела в поле силы тяжести в заданной системе отсчета. 2. 2. Непрерывный и линейчатый спектры. Спектры испускания и поглощения. Спектральный анализ и его применение. 3. 3. (задача на работу и мощность тока) 1. Энергией – называется скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Кинетическая энергия материальной точки или тела является мерой их механического движения, зависящей от скоростей, зависящей от скоростей их движения в данной инерциальной системе отсчета.

 От клинописи до двойной записи. История бухучета

Двойная запись более удобно и полно отражала хозяйственные процессы, система счетов простой бухгалтерии дополнилась счетами собственных средств, а материальные счета получили денежную оценку. С XVI и до середины XIX столетия двойная бухгалтерия постепенно охватила все сферы экономической жизни, победоносно шествуя по странам и континентам. Переломным же моментом стал выход в 1494 году книги великого итальянского математика Луки Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», «Трактат о счетах и записях» которой содержал подробное описание применения двойной бухгалтерии в практике торгового предприятия. Книга оказала огромное влияние на последующее развитие учетной мысли, заложив основы экономики современного предприятия. При рецепции двойной записи в различных странах возникали местные модификации, послужившие фундаментом национальных традиций учета. Пачоли должен быть отмечен как человек, сформулировавший две цели учета: 1) получение информации о состоянии дел, ибо учет следует вести так, "чтобы можно было без задержки получать всякие сведения как относительно долгов, так и требований (Л. Пачоли. Трактат о счетах и записях. М. "Финансы и статистика", 1983, с. 18); 2) исчисление финансового результата, ибо "цель всякого купца состоит в том, чтобы приобрести дозволенно соответственную выгоду для своего содержания" (с. 20) Первая цель приводила к трактовке всего, что писал Пачоли о бухгалтерском учете, как фиксации действий и событий, происходящих на предприятии, для управления им.

 Начала систематического курса планиметрии в средней школе

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины» Математический факультет Кафедра МПМ Реферат Начала систематического курса планиметрии в средней школе Исполнитель: студентка группы М-32 Чучмай А.Ю. Научный руководитель: Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т. Гомель 2007 Содержание Введение 1. Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии 2. Методика введения понятий и теорем в курсе геометрии 3. Методическая схема изучения признаков равенства треугольников Заключение Литература Введение Одна из главных задач обучения геометрии состоит в усвоении учащимися её теоретических основ и овладение навыками применения их на практике, в развитии логического мышления учащихся, способности к доказательным, аргументированным рассуждениям. При изучении школьного курса геометрии развиваем пространственное воображение и представление учащихся, геометрическое четырёхугольники, правильные многоугольники, излагаем традиционно, максимальные образовательные цели, можно увидеть в них начала систематического курса геометрии.

 Волейбол

Более целесообразными как для повышения интенсивности, так и для отработки тактики являются следующие комплексные упражнения, специально разработанные для нападения. 2.Упражнения с блоком: а) блокирующие (одиночный или двойной блок, смотря по численности игроков) непрерывно подпрыгивают, стараясь любым способом перехитрить нападающего игрока; б)блокирующие подпрыгивают не при всяком на падающем ударе. Нападающий игрок должен прибегать к обманным действиям, если блокирующие подпрыгивают, в противном же случае выполнять нападающий удар (блокирующие должны при этом подпрыгивать полностью и действительно стремиться к блокированию мяча, а не к обману любой ценой на падающего) ; в)оба блокирующих игрока ставят (по взаимной договоренности) одиночный или двойной блок. Задача нападающего при одиночном блоке заключается в преодолении его наиболее целесообразным видом удара, при двойном блоке — в применении обманных действий. 3.Упражнения с игроками площадки: а) принимающий игрок располагается в глубине центра игровой площадки.

 Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

Лабораторная работа № 4. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых). Гребенникова Марина 12-А классМногие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида где f(x) -данная функция, непрерывная на отрезке . Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона- Лейбница: Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции. на равных частей, т.е. на элементарных отрезков.

 Тройные и кратные интегралы

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл где - произвольная непрерывная в области функция. Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла . Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области : Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом. V 1. Если функция во всех точках области интегрирования удовлетворяет неравенствам то где V - объем области . VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.     II. Вычисление тройных интегралов. Вычисление тройного интеграла может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил. 1. Декартовы координаты.

 Комплексные числа в планиметрии

Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM (рис.6).ЗаключениеМногие задачи элементарной геометрии можно изящно и просто решать при помощи комплексных чисел. Однако, значение комплексных чисел заключается не только в изяществе и краткости решения задач посредством этих чисел, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения комплексных чисел при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи, к тому же многие из них еще не сформулированы. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения.Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.Здесь мы остановились на вопросе применения комплексных чисел к решению планиметрических задач, а что, если комплексные числа применять к решению стереометрических задач?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое.