![]() 978 63 62 |
![]() |
Сочинения Доклады Контрольные Рефераты Курсовые Дипломы |
РАСПРОДАЖА |
все разделы | раздел: | Математика |
Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов | ![]() найти еще |
![]() Молочный гриб необходим в каждом доме как источник здоровья и красоты + книга в подарок |
Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной Премии Российской Федерации 1996 года (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Автор 180 научных работ, 24 монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии древности и средневековья. НОСОВСКИЙ Глеб Владимирович 1958 года рождения, кандидат физико-математических наук (МГУ, 1988), специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов
Тьюринг показал, что в такой реакционно-диффузионной системе может существовать неоднородное (периодическое в пространстве и стационарное во времени) распределение концентраций. В русле тех же идей - изучения реакционно-диффузионных систем - мыслил найти решение проблемы самоорганизации и Дж. фон Нейман. По свидетельству А. Беркса, восстановившего по сохранившимся в архиве фон Неймана отрывочным записям структуру самовоспроизводящегося автомата, фон Нейман «предполагал построить непрерывную модель самовоспроизведения, основанную на нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных, описывающих диффузионные процессы в жидкости. В этой связи интересно отметить, что фон Нейман получил не только математическое образование, но и подготовку инженера- химика. Структура и хаос. Понятие структуры, основное для всех наук, занимающихся теми или иными аспектами процессов самоорганизации, при любой степени общности предполагает некую «жесткость» объекта - способность сохранять тождество самому себе при различных внешних и внутренних изменениях.
Genehmigte Lizenzausgabe fur Weltbild Verlag GmbH, Augsburg 2000. Germany. 1996 by Editions Parkstone/Aurora, England. ИНТЕРНЕТ-САЙТЫ, ПОСВЯЩЁННЫЕ НОВОЙ ХРОНОЛОГИИ (официальный сайт направления «Новая хронология») (сайт в Германии) СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ НОСОВСКИЙ Глеб Владимирович 1958 года рождения, кандидат физико-математических наук (МГУ, 1988), специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов. Работал в институте Космических Исследований (Москва), в Московском станко-инструментальном институте, а также в Японии, в рамках научного сотрудничества между МГУ и университетом Айзу в области компьютерной геометрии. В настоящее время работает доцентом на механико-математическом факультете МГУ. ФОМЕНКО Анатолий Тимофеевич 1945 года рождения, академик Российской Академии Наук (РАН), действительный член РАЕН (Российской Академии Естественных Наук), действительный член МАН ВШ (Международной Академии Наук Высшей Школы), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой механико-математического факультета Московского государственного университета
Он показал, как задать любую точку на плоскости или в пространстве набором чисел. После этого любое движение физического тела можно описать набором числовых функций. Оставалось придумать исчисление этих функций " наподобие арифметики чисел или того исчисления плоских фигур, которое развил Пифагор. Декарт научился свободно работать с многочленами от одной или двух переменных; в итоге ему покорились все плоские кривые, заданные многочленами. Но многие важные кривые (например, синусоиду или экспоненту) нельзя задать с помощью многочленов. Как их исчислять" Ньютон первый понял, как это можно сделать. Любую функцию с гладким графиком нужно представить в виде степенного ряда " то есть, бесконечно длинного многочлена с числовыми коэффициентами! Например, синус и логарифм разлагаются так: si (x) = x " x/6 x/120 " log(1 x) = x " x/2 x/3 " . С помощью степенных рядов нетрудно вычислить производную или интеграл от любой функции. (Ньютон называл эти операции нахождением флюксии по флюенте, или обратно). Владея этими двумя действиями в мире функций, можно решить любое дифференциальное уравнение " а значит, понять любой процесс в физическом мире.
Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 года (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Автор более 200 научных работ и 30 математических монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии древности и Средневековья. НОСОВСКИЙ Глеб Владимирович 1958 года рождения, кандидат физико-математических наук (МГУ, 1988), специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов
Терминология К сожалению, для искусственных нейронных сетей еще нет опубликованных стандартов и устоявшихся терминов, обозначений и графических представлений. Порой идентичные сетевые парадигмы, представленные различными авторами, покажутся далекими друг от друга. В этой книге выбраны наиболее широко используемые термины. Многие авторы избегают термина «нейрон» для обозначения искусственного нейрона, считая его слишком грубой моделью своего биологического прототипа. Здесь термины «нейрон», «клетка», «элемент» используются взаимозаменяемо для обозначения «искусственного нейрона» как краткие и саморазъясняющие. Дифференциальные уравнения или разностные уравнения Алгоритмы обучения, как и вообще искусственные нейронные сети, могут быть представлены как в дифференциальной, так и в конечноразностной форме. При использовании дифференциальных уравнений предполагают, что процессы непрерывны и осуществляются подобно большой аналоговой сети. Для биологической системы, рассматриваемой на микроскопическом уровне, это не так.
Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны: . геометрическая форма и размеры тела, . физические параметры среды и тела, . граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями. Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени = 0. Граничные условия могут быть заданы тремя способами. Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени. Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени. Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.
Телевизионная аппаратура, магнитофоны, блоки имитации тряски предназначались для создания соответствующей “летной” обстановки. Мозгом модели-стенда являлась вычислительная машина, решавшая дифференциальные уравнения движения самолета. Моделирование возможно и в военной сфере - это хорошо известные маневры, в которых моделируется применение оружия и взаимодействия с противником. Хотя, как указывается в , окончательное принятие решения зависит от “гения” полководца. В последнее время особое значение приобрело моделирование биологических и физиологических процессов. Так создаются протезы тех или иных органов человека, управляемые биотоками. Разрабатываются установки, моделирующие условия, необходимые для развития живых тканей и организмов. Некоторые функции человеческого мозга и нервной системы моделируются с помощью специальных моделей (функциональных или, как их иначе называют, кибернетических). Не отражая внутренней структуры объекта, такие модели в определенных условиях воспроизводят его функции. Например, модели сердца и легких, выполняющие некоторые функции этих органов, применяются во время операций.
Во время этой работы Форрестер понял, что медленные и ненадежные системы хранения информации, применявшиеся в ранних компьютерах, тормозят их дальнейшее развитие. В 1949 он занялся разработкой магнитного запоминающего устройства, которое в окончательном виде представил в 1953 году. С этого времени запоминающие устройства на магнитных сердечниках стали применяться как для хранения информации, так и для коммутации. С 1951 по 1956 Форрестер работал в Линкольновской лаборатории в Лексингтоне (Массачусетс), а также сотрудничал с MI в реализации проекта по применению электронных технологий для национальной обороны. Форрестер первым применил компьютеры в менеджменте. Он разработал технику компьютерного моделирования реальных процессов. Например, поток материалов на фабрике представлялся как серия взаимосвязанных математических уравнений, которые могли обрабатываться на компьютере. С 1956 года Форрестер - профессор Слоуновской школы менеджмента при Массачусетском технологическом институте. Труды: I dus rial Dy amics (1961); Pri ciples of Sys ems (1968); Urba Dy amics (1969); World Dy amics (1971); Collec ed Papers (1975).
Теперь дифференциальное уравнение, описывающее динамику х, имеет вид: (1.5) Решение этого уравнения будет: , (1.6) где х0 – по-прежнему начальное значение х. На рис. 4 приведены соответствующие кривые для ряда значений х0. При x0 выход на одно из них гарантируется практически при любых исходных условиях. Выводы. Рассмотренные применения математических моделей к изучению процессов модернизации позволяют сделать выводы о перспективности математических методов в социологии. Методы, основанные на использовании дифференциальных уравнений, обладают двумя очевидными достоинствами. Во-первых, в тех случаях, когда возможна идентификация параметров уравнений, они позволяют делать какие-то прогнозы или рекомендовать методы управления ситуациями. Во-вторых, даже в тех случаях, когда получение количественных результатов по каким-то причинам затруднительно (например, из-за трудности получения соответствующего экспериментального материала), использование дифференциальных уравнений позволяет делать качественный анализ различных ситуаций, что в ряде случаев может иметь ценность не меньшую, чем конкретные количественные результаты.
Именно благодаря режиму программирования у студентов и у школьников, во-первых, появляется обширный простор для креативной деятельности с целью наглядного моделирования реальных процессов, а, во-вторых, некоторые навыки программирования на примерах написания программ для решения отдельных математических или иных задач, причем написанные на калькуляторе программы должны иметь простой, удобный, а местами даже симпатичный интерфейс. Стоит отметить, что на сегодняшний день в России очень мало вузов всерьез занимается внедрением графических калькуляторов в учебный процесс, что обуславливается или полным отсутствием информации о данных калькуляторах, или отсутствием необходимости в заложенных в калькуляторах возможностях, или отсутствием соответствующих материальных и финансовых средств, или "все в одном". Постановка задачи В данной статье рассматривается одна из задач курса математического анализа, имеющая непосредственное отношение к предельным процессам, а именно, решение задачи о нахождении минимального номера () ) 268 268 268 Время расчета я 5 сек. я 8 сек. я 5 сек. Заключение В заключении статьи необходимо отметить особую важность написания программ, подобной выше изложенной, по нескольким причинам: - В качестве задачи берется реально существующая проблемная ситуация - отличный пример наглядного моделирования. - Необходимость построения листинга программ с учетом трех методов решения представленной проблемы. - Обширная область для построения дизайна программы с учетом удобства пользовательского интерфейса.
Все изложенное выше составляет часть моей индивидуальной понятийной модели, которую я предлагаю вниманию читателей журнала и всех лиц, причастных к "школьной информатике". Я не настаиваю на правильности этой модели и никому ее не навязываю. Моей целью было привести в достаточно стройную систему большую часть упомянутого в начале "Обязательного минимума.". Часть раздела "Представление информации" из того же "Минимума" мне хотелось бы осветить в отдельной публикации. Некогда мной была написана книга . Приведу ее оглавление, и по сию пору отражающее мои представления о содержании и порядке изложения соответствующего материала: 1) языки программирования, 2) простые значения и их представления, 3) составные значения и их типы, 4) определения типов, 5) переменные и их описания, 6) операции и выражения, 7) операторы, 8) работа со ссылками, 9) процедуры, 10) файлы и операторы для работы с ними, 11) примечания в программах, 12) доказательство свойств алгоритмов. В "Заключении" этой работы были перечислены темы, в нее не вошедшие, но существенные во всем этом круге вопросов: редактирование вводимых и выводимых данных, средства работы со строками, включая поиск по образцу, абстрактные типы данных, моделирование реальных процессов на ЭВМ, задержка вычислений и их параллельное исполнение.
Вспомним, как тремя веками раньше Ньютон создал на основе дифференциальных уравнений единую математическую теорию механических процессов, не вызывающих эволюции. Осмысление и совершенствование механики Ньютона затянулось на полтораста лет - до эпохи Лагранжа и Лапласа, которые сумели объяснить все, кроме происхождения Солнечной системы. Сейчас Эрлангенской программе Кляйна исполнилось 125 лет. Видно, как 25 лет назад математики завершили ее понимание, создав топологическую теорию управления симметриями природных систем. После 1967 года началось проникновение этой теории в физику элементарных частиц и вакуума. Сейчас, поколением позже, пора начинать экспорт новой модели физического мира в умы школьников! Первые опыты этого рода в ведущих физматшколах России прошли успешно. Старшеклассники быстро привыкают к тому, что программа Кляйна охватывает всю природу " включая биоэволюцию, социальные катаклизмы и деятельность людей-творцов, чьи биографии изображаются траекториями максимального действия. Конечно, вычислительные трудности на этом пути огромны " но ведь и школьный курс математического анализа включает далеко не все, что умел делать Ньютон! Нужно крепить наметившуюся связь, наводя все новые мосты между школьными курсами математики и разных ветвей естествознания " включая историю науки, неразделимо сплетенную с историей человечества.
Происходит запись по дебету пассивного счета (уменьшение в пассиве баланса) и по кредиту активного счета (уменьшение в пассиве баланса). Изменения, приводящие к перегруппировке средств внутри актива баланса. Происходит запись по дебету одного активного счета (увеличение по счету) и по кредиту другого активного счета (уменьшение по счету). Изменения, приводящие к перегруппировке средств внутри пассива баланса. Происходит запись по дебету одного пассивного счета (уменьшение по счету) и по кредиту другого пассивного счета (увеличение по счету). Таким образом, посредством метода двойной записи устанавливается взаимосвязь экономических явлений, что делает этот метод универсальным способом моделирования реальных процессов хозяйственной деятельности предприятия.
Некоторые элементы предназначены для получения сигналов из внешней среды (и поэтому называются входными элементами), а некоторые — для вывода во внешнюю среду результатов вычислений (и поэтому такие элементы сети называются выходными элементами). Любая вычислительная машина имеет хотя бы одно устройство ввода (например, клавиатуру), с помощью которого система получает данные из внешней среды, и устройство вывода (например, монитор), с помощью которого отображаются результаты вычислений. В случае программного моделирования реальных процессов на входные элементы обычно подаются уже предварительно подготовленные данные из некоторого файла данных, а не от непосредственно связанных с внешней средой датчиков. Структура связей. Структура связей отражает то, как соединены элементы сети. В одной модели (т.е. для одного типа сетей) каждый элемент может быть связан со всеми другими элементами сети, в другой модели элементы могут быть организованы в некоторой упорядоченной по уровням (слоям) иерархии, где связи допускаются только между элементами в смежных слоях, а в третьей могут допускаться обратные связи между смежными слоями или внутри одного слоя, или же допускаться посылка сигналов элементами самим себе.
Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными. Другим важным достижением теории обыкновенных дифференциальных уравнений явилось изучение структурной устойчивости систем. При использовании любой математической модели возникает вопрос о корректности применения математических результатов к реальной действительности. Если результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые изменения модели приведут к модели с совершенно иными свойствами. Такие результаты нельзя распространять на исследуемый реальный процесс, так как при построении модели всегда проводится некоторая идеализация и параметры определяются лишь приближенно. Это привело А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина к понятию грубости системы обыкновенных дифференциальных уравнений или понятию структурной устойчивости. Это понятие оказалось очень плодотворным в случае малой размерности фазового пространства (1 или 2), и в этом случае вопросы структурной устойчивости были детально изучены. В 1965 году Смейл показал, что при большой размерности фазового пространства существуют системы, в некоторой окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы, то есть такой, что при малом изменении векторного поля она остается в определенном смысле эквивалентной первоначальной.
Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами. III. Кибернетические модели Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций. Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами. IV. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.
Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами. III. Кибернетические модели. Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций. Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами. IV. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего “биологического” звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.
![]() | 978 63 62 |