Численное интегрирование определённых интегралов

 Большая Советская Энциклопедия (ИН)

Поэтому все первообразные для f (x ) содержатся в выражении F (x ) + С , которое называют неопределённым интегралом от функции f (x ) и записывают   Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования («интеграл с переменным верхним пределом»), есть одна из первообразных подинтегральной функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона — Лейбница): выражающую численное значение определённого интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.   Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами   Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C , m , a , k — постоянные и m ¹ —1, а > 0). Таблица основных интегралов и правил интегрирования ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

 Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Содержание. 1. Введение. Постановка задачи . 2стр. 2. Вывод формулы .3стр. 3. Дополнительный член в формуле прямоугольников .5стр. 4. Примеры .7стр. 5. Заключение .9стр. 6. Список литературы .10стр. Постановка задачи. Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b.

 Большая Советская Энциклопедия (ПР)

Её подбирают так, чтобы для всех f Î W функции f (x ) хорошо приближалась линейными комбинациями функций wq (x ).   Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.   Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в специальных справочниках.   Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда называются кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд специальных формул.   Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматическим выбором шага.   Лит.: Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теоретикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963.   В. И. Лебедев

 Численное интегрирование функции методом Гаусса

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования. Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом. 1. Постановка задачиСущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях. Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

 Большая Советская Энциклопедия (СИ)

Симпсон Томас Си'мпсон (Simpson) Томас (20.8.1710, Маркет-Босуэрт, Лестершир, — 14.5. 1761, там же), английский математик. В 1743 вывел формулу приближённого интегрирования (см. Симпсона формула). Другие работы С. посвящены элементарной геометрии, тригонометрии, анализу и теории вероятностей.   Лит.: История математики, т. 3, М., 1972. Симпсона пустыня Си'мпсона пусты'ня (Simpson Desert), пустыня в центральной части Австралии. Первоначальное название Арунта объединяло С. п. и пустыню Стёрт. Площадь 112,6 тыс. км2. Преимущественно песчаная, с параллельными грядами Длина до 250 км, высота 20—60 м, на Ю.-В. — песчано-галечниковая, у берегов оз. Эйр — глинистая. Средняя температура января 28—30 °С, июля 12—15 °С. Осадков менее 130 мм на С.-З. Ксерофитные кустарники акации и эвкалипты, злак спинифекс, закрепляющий пески. Сухие русла криков (Хей и др.) теряются в песках. Обследована С. Медигеном в 1937—39. Национальный парк Симпсон. Симпсона формула Си'мпсона фо'рмула, формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид:   ,   где h = (b — а)/2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на замене подынтегральной функции f (x) на каждом из отрезков [a + 2hk, а + 2h (k + 1)], k = 0, 1,..., n — 1, соответствующим интерполяционным многочленом второй степени (см

 Программа Mathematics

Она позволяет находить конечные и бесконеч­ные суммы и произведения, вычислять интегралы, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, задачи оптимизации (линейного программиро­вания, нахождения экстремумов функций), а также зада­чи математической статистики. При численном решении математических задач на­ряду с правильностью алгоритмов расчета особую роль играет точность вычислений. В Ma hema ica 3.0 реализо­ван адаптивный контроль точности, основанный на вы­боре внутренних алгоритмов, позволяющих ее максими­зировать. В этой версии программы повышена эффективность одно и многомерной интерполяции, оптимизированы алгоритмы численного решения дифференци­альных уравнений Добавлены многократное численное интегрирование) а также численное дифференцирование Оптимизированы алгоритмы нахождения экстремумов Поддерживается арифметика интервалов (рис 6) Осуществлен независимый от конкретной компьютернои платформы механизм ввода и вывода числовых данных без потери точности. Математические функции Мa her a ica 3.0 позволяет включать в расчеты все известные элементарные функции, а также сотни специ­альных встроенных функций .

 Метод Монте-Карло и его применение

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения. Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей §1. Математическое ожидание, дисперсия. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями.

 Метод Симпсона

Кафедра «Высшей математики» Реферат: Выполнил: Матвеев Ф.И. Проверила: Бурлова Л.В. Улан-Удэ.2002 Содержание. 1.Численные методы интегрирования 2.Вывод формулы Симпсона 3.Геометрическая иллюстрация 4.Выбор шага интегрирования 5.Примеры 1. Численные методы интегрирования Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла посредством ряда значений подынтегральной функции . Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной. Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры. Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции. Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома.

 Метод Монте-Карло и его применение

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения. Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей §1. Математическое ожидание, дисперсия. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями.

 Задача обработки решеток

Далее поля разлагаются в ряд Фурье. Поскольку тело невелико, можно ограничиться небольшим числом гармоник. Используя формулы для коэффициентов ряда Фурье и интегральное представление функции Бесселя (9.21), получаем выражения для гармоник падающих токов. При этом в силу симметрии в случае синфазных токов на зеркалах присутствуют только нечетные гармоники, что соответствует максимуму поля резонатора в области диска: . Переход к отрицательным индексам происходит так же, как и ранее. После вычисления первичных токов используется алгоритм решения задачи возбуждения тела вращения, основанный на уравнении (3.85). Результат получается в виде распределения азимутальных гармоник плотностей эквивалентных токов на поверхности диэлектрика. Далее по этому распределению нетрудно рассчитать рассеянное поле всюду и в том числе на поверхности зеркала. Как и в § 9.4, это поле и определяет элементы матрицы однородной СЛАУ (9.48). Расчет ведется в тех же приближениях с учетом изменившейся системы координат. В частности, асимптотическая формула для функции . (9.66) Существенные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49), определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48). Интеграл здесь поверхностный, т. е. двойной, и численное интегрирование требует больших затрат времени ЭВМ.

 Задача обработки решёток

Результат получается в виде распределения азимутальных гармоник плотностей эквивалентных токов на поверхности диэлектрика Далее по этому распределению нетрудно рассчитать рассеянное поле всюду и в том числе на поверхности зеркала Как и в § 9.4, это поле и определяет элементы матрицы однородной СЛАУ (9.48) Расчет ведется в тех же приближениях с учетом изменившейся системы координат В частности, асимптотическая формула для функции в этих координатах имеет вид (9.66) Существенные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49), определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48) Интеграл здесь поверхностный, т е двойной, и численное интегрирование требует больших затрат времени ЭВМ Выходом из положения является аналитическое вычисление одного из интегралов Для этого можно воспользоваться тем, что в направлении, перпендикулярном оси (см рис 9.7), каждая из азимутальных гармоник рассеянного поля имеет синусоидальную зависимость Формально удобно вести это интегрирование по декартовой координате в пределах от до

 Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Кавальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в результате проведения диагонали (рис. 8). Введём для краткости обозначения: АС = а, R = x, V = y, RS = а/2 = в, S = z. Тогда х = в z, у = в – z и сумма квадратов частей неделимых х2 у2 = 2в2 2z2. Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов неделимых символом . Заметим, что = 1/8, что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно, = 1/3. В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что х2dх = 1/3 а2dх или иначе: lim /па2 = = lim ( k2/п3 = 1/3. Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более высоких степеней неделимых, вплоть до девятой, решив таким образом группу задач, эквивалентных вычислению определённых интегралов вида: хпdх , для п = 1, , 9. 3 Теорема Паскаля. Среди последователей Кавальери самыми видными учёными, подготавливавшими создание интегрального и дифференциального исчисления, были Дж.Валлик, П.Ферма, Б.Паскаль. Методы Валлика, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655), развивались вслед за методом неделимых Кавальери.

 Солнечный ветер

Результаты численного интегрирования системы уравнений (15)- (18) представлены на рис. 3 из . Кривая 1 соответствует одножидкостной модели, кривые 2 и 3 показывают изменение с расстоянием электронной и ионной температуры солнечного ветра в двухжидкостной модели. Как видно из рисунка, на орбите Земли (r = 215 p = 4,4 103 K и e = 3,4 105 K. Рис. 3. Изменение с расстоянием от Солнца температуры солнечного ветра в одножидкостной модели (1 ), электронной (2 ) и ионной (3 ) температур в двухжидкостной модели. Таким образом, предсказываемая моделью температура электронов оказывается вдвое больше, а температура протонов - на порядок меньше реальной температуры частиц в солнечном ветре (см. табл. 1). Такое несоответствие теоретических и экспериментальных данных можно устранить, предположив существование дополнительных источников нагрева плазмы, причем преимущественно ее ионной компоненты. Этому требованию удовлетворяют упомянутые выше альфвеновские волны. Дело в том, что, хотя сами альфвеновские волны в солнечном ветре почти не поглощаются, они эффективно трансформируются в ходе четырехволнового взаимодействия в магнитозвуковые волны.

 Волновой генетический код

При малых гамильтониан, что совпадает с соответствующей частью общего гамильтониана, использованного ранее (см. выше). В этом случае уравнения движения для , полученные из (1), имеют вид: (2) где произведена замена . В случае в системе (2) можно перейти к безразмерному дифференциальному уравнению синус-Гордона: , (3) ”непрерывный аналог” системы (2). Это уравнение имеет солитонные решения, в частности, односолитонное решение, или кинк, характеризующий динамику распространения дислокации в цепи. В соответствии с (1) система нелинейных уравнений движения записывается следующим образом: (4) Как видим, системы (2) и (4) существенно различаются. Отметим, однако, что проведенное нами численное моделирование динамики систем (2) и (4) показало следующее: если в качестве начальных условий для численного интегрирования (2) выбрать односолитонное решение его “непрерывного аналога” (3) - кинк (см. выше), то обнаруживается принципиальное сходство в характере решений. Однако, при задании начальных условий в следующем виде: (5) где - ”ступенчатая” функция с высотой ступени и углом наклона уступа A, выявилось различие динамики данных систем (срав. рис.1 и 2,3). Более точно, системы (2) и (4) численно интегрировались методом Рунге-Кутта четвертого порядка с начальными условиями, заданными в виде (7), в интервале с шагом .

 О возможной причине гравитации и следствиях из нее

Как известно, Земля имеет более плотное ядро с диаметром, примерно равным половине диаметра самой Земли. Численное интегрирование выражения (1) приводит к результатам, полностью совпадающим с результатами расчета по классической формуле закона всемирного тяготения Ньютона. Расчет показал, что сила воздействия на пробное тело будет одной и той же для любого распределения плотности по радиусу при условии постоянства средней плотности. Проверка адекватности предложенной модели. Адекватна ли реальности предложенная здесь модель? Это можно было бы проверить во время полного солнечного затмения. Согласно теории Ньютона сила притяжения любого тела Землей на ее поверхности должна уменьшаться во время солнечного затмения. В этот момент Луна и Солнце находятся на одной прямой по отношению к наблюдателю в зоне затмения. При этом их сила притяжения должна увеличиться, уменьшая результирующую силу притяжения на поверхности Земли. Но, согласно предложенной здесь модели все должно обстоять в точности наоборот. Согласно этой модели гравитоны должны поглощаться полностью в достаточно большой массе вещества, через которую они проходят.

 Экзаменационные билеты по численным методам за первый семестр 2001 года

Что называется численным интегрированием при вычислении определенного интеграла? 76. В каких случаях для вычисления определенного интеграла приходится использовать формулы численного интегрирования? 77. Что называется квадратурной формулой для приближенного вычисления определенного интеграла? 78. Что называется составной квадратурной формулой? 79. Напишите квадратурную формулу метода прямоугольников для вычисления определенного интеграла. 80. Напишите составную квадратурную формулу метода прямоугольников для вычисления определенного интеграла. 81. Какую погрешность имеют квадратурные формулы метода прямоугольников при вычислении определенного интеграла? 82. Приведите квадратурную формулу метода трапеций для вычисления определенного интеграла. 83. Приведите составную квадратурную формулу метода трапеций для вычисления определенного интеграла. 84. Какую погрешность имеют квадратурные формулы метода трапеций при вычислении определенного интеграла? 85. Приведите квадратурную формулу метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. 86. Приведите составную квадратурную формулу метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. 87. Какую погрешность имеют квадратурные формулы метода Симпсона при вычислении определенного интеграла? 88.

 Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями

В силу строения рассеивающего тела (двухмерности задачи) плоскость поляризации неизменна, уравнения Максвелла можно записать в следующем виде: (3)Здесь индекс j=0 относится к волновому уравнению в вакууме, а j=1 - к волновому уравнению в среде с потерями. Кроме того, величины (, ( представляют собой диэлектрическую проницаемость и удельную электрическую проводимость среды с потерями, обозначает комплексную относительную диэлектрическую проницаемость. Решение уравнений (3) в данной задаче можно отыскивать так, чтобы удовлетворялись следующие граничные условия: (В1) условия излучения вовне при r ( ( ; (В2) непрерывность при x =a, y =b ; (В4) непрерывность при y =b ; (В5) условия концевой точки при x =a , y =b . При решении задачи используется преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, которые определяются ниже следующим образом: (4)Здесь контур интегрирования С в обратном преобразовании представляет собой контур интегрирования в интеграле с бесконечными пределами, находящийся в общей области Д( , которая может быть получена на основании предположения о том, что в вакууме имеются незначительные потери (JmK0a, а значок (-) - на то, что рассматриваемое поле имеет смысл только при x (, а функция определена при x

 Исследование точности численного интегрирования

Министерство общего и профессионального образования РФ. Уральский государственный технический университет – УПИ Кафедра “Технология и средства связи” "Исследование точности численного интегрирования" "Research of Accuracy of umerical I egra io " Отчет по лабораторной работе дисциплины "Информатика", третий семестр Преподаватель: Болтаев А.В. Студенты: Степанов А.Г Черепанов К.А. Группа: Р-207 Екатеринбург 2000 Содержание Задание исследования Подробное описание задачи и способы ее решения Результаты исследований Сравнение результатов Список библиографических источников Текст программы Задание исследования Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью языка С. Подробное описание задачи и способы ее решения Необходимо провести исследования так называемой внутренней сходимости численного интегрирования методами Симсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка С. Предполагается, что отрезок интегрирования разбит на равных частей системой точек (сеткой). Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваимого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа .